人教版八年级下数学进阶测试 19.2 二次根式的乘法与除法（三阶）

试卷更新日期：2026-02-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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2. 下列计算正确的是 ( )

A、 $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{3}} = 3$ B、 $\frac{\sqrt{18} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$ C、 $2 \sqrt{5} \times 5 \sqrt{2} = 10 \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 4$

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3. 计算 $\sqrt{\frac{4}{3}} \div \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的结果为（）.

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 下列化简错误的是（）

A、 $\sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\sqrt{0.01 \times 0.49} = \sqrt{0.01} \times \sqrt{0.49} = 0.1 \times 0.7 = 0.07$ C、 $\sqrt{1 \frac{1}{36}} = \sqrt{1} \times \sqrt{\frac{1}{36}} = 1 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{2 \times 11}{11 \times 11}} = \frac{1}{11} \sqrt{22}$

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5. 估计 $\sqrt{2} \times (3 \sqrt{2} + \sqrt{7})$ 的值应在（）

A、7与8之间 B、8与9之间 C、9与10之间 D、10与11之间

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6. 已知 $\sqrt{7} = a ， \sqrt{70} = b$ ，则 $\sqrt{10}$ 等于( )

A、 $a + b$ B、 $b - a$ C、 $a b$ D、 $\frac{b}{a}$

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7. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 $S = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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二、填空题

8. 下列是最简二次根式的有．
① $\sqrt{12}$ ；② $\sqrt{15}$ ；③ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ ；④ $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ．

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9. 若 $\sqrt{- \frac{a}{a + 4}} = \frac{\sqrt{- a}}{\sqrt{a + 4}}$ 成立，则a的取值范围是．

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10. 若矩形的长为 $(3 + \sqrt{7}) cm$ ，宽为 $(3 - \sqrt{7}) cm$ ，则长方形的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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11. 星期天，刘红的妈妈和刘红做了一个小游戏，刘红的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若x表示 $\sqrt{10}$ 的整数部分，y表示它的小数部分，我这个纸包里的钱数是 $(\sqrt{10} + x) y$ 元，你猜下，这个纸包里的钱数是多少?若猜对了，包里的钱由你支配”根据上述信息，你知道纸包里钱的数目是

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三、解答题

12. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} \times \sqrt{18}$

(2)、 $(2 - \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})$

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13. 先用“＞”“＜”“＝”填空．
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ▲ $2 \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}$ ； $6 + 3$ ▲ $2 \sqrt{6 \times 3}$ ； $7 + 7$ ▲ $2 \sqrt{7 \times 7}$ ．
再由上面各式猜想 $a + b$ 与 $2 \sqrt{a b}$ （ $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ）的大小，并说明理由．

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14. 如果一个数的平方等于 $a$ ，那么这个数叫做 $a$ 的平方根 $.$ 即：若 $x^{2} = a (a \geq 0)$ ，则 $x = \pm \sqrt{a}$ ，反之，如果一个数是 $a$ 的平方根，那么这个数的平方等于 $a$ ，即：若 $x = \pm \sqrt{a}$ ，则 $x^{2} = a (a \geq 0)$ ．
例如：
根据平方根的定义可得： $∵ x^{2} = 5$ ， $∴ x = \pm \sqrt{5}$ ．
根据平方根的定义也可得： $∵ \sqrt{7}$ 是 $7$ 的一个平方根， $∴ (\sqrt{7})^{2} = 7$ ．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：

(1)、求下列各式中 $x$ 的值．
$① (x - 1)^{2} = 16$ ；
$② 5 (1 + x)^{2} = 7.2$ ．

(2)、求证： $(\sqrt{a})^{2} = a (a \geq 0)$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$ ．
证明： $∵ \sqrt{a}$ 是 $a$ 的平方根，
$∴ (\sqrt{a})^{2} = a$ ，
$∵ (\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^{2} = (\sqrt{a})^{2} (\sqrt{b})^{2} ($ 依据 $1)$ ，
$= a b ($ 依据 $2)$ ，
$∴ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$ ．
$①$ 填写推理依据．
依据 $1$ ： _▲ ．
依据 $2$ ：__▲__ ．
$②$ 计算： $- \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{32} \times \sqrt{3} \times (- \sqrt{27}) .$

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15. 阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于 ${(a - b)}^{2} \geq 0$ ，所以 $a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0$ ，即 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ，并且当 $a = b$ 时， $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ；对于两个非负实数 $a$ ， $b$ ，由于 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 ，$ 所以 ${(\sqrt{a})}^{2} - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + {(\sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，即 $a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ，所以 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，并且当 $a = b$ 时， $a + b = 2 \sqrt{a b}$ ；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ；

(1)、在① $\frac{2 x + 3}{x + 1}$ 、② $\frac{x^{2} + 1}{x}$ 、③ $\frac{x}{x^{2} + 1}$ 、④ $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}}$ 这些分式中，属于假分式的是（填序号）；

(2)、已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求代数式 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值；

(3)、当 $x$ 为何值时， $\frac{x + 3 \sqrt{x + 2} + 5}{\sqrt{x + 2} + 1}$ 有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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