人教版八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用同步分层训练

试卷更新日期：2026-02-02 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ B、3，4，5 C、1，2，4 D、 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{6}$ ， $\sqrt{7}$

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2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、2，3，5 B、7，8，9 C、6，8，10 D、5，12，11

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3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是( )

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、无法确定

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4. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何？” 意为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（）

A、 $(x - 6.8)^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ B、 $(x + 6.8)^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ C、 $(x + 6.8)^{2} + 1 0^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + 1 0^{2} = (x + 6.8)^{2}$

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5. 如图，OA=3，OB=2 $\sqrt{3}$ ， AB= $\sqrt{21},$ 点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（）

A、北偏东40° B、北偏东50° C、东偏北60° D、东偏北70°

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6. 如图，每个小正方形的边长都为1，在△ABC中，D为AB的中点，则线段CD的长为。

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7. 如图，一棵树（树干与地面垂直）受强风影响，在离地面4m处折断，倒下后的树顶与地面成30°角，则这棵树原来的高度是m.

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8. 如图，在3×4的正方形网格中， $∠ 2 =$ $°$

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9. 如图，分别在三角形纸板 $A B C$ 的顶点 $A ， B$ 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 $A D$ 和 $B E$ ，相交于点 $P$ ， $A B = 6 ， A C = 8 ， B C = 10$ ．则 $C P$ 的长度是

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10. 如图①是某品牌婴儿车，将其抽象出图②的结构示意图.根据安全标准需满足AB⊥BC，已知AB=60cm，BC=45cm，AC=75cm，请问：这个婴儿车是否符合安全标准，说明理由.

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11. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中 $A B = A C$ ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得 $C B = 2$ 千米， $C H = 1.6$ 千米， $H B = 1.2$ 千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．

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二、能力提升

12. 将下列长度的三条线段首尾顺次连结，能组成直角三角形的是( )

A、4，5，6 B、5，8，12 C、6，8，10 D、6，7，8

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13. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，点 $M$ ， $N$ 为垂足，若 $B D = 3$ ， $D E = 4$ ， $E C = 5$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、10 B、11 C、 $\sqrt{90}$ D、 $\sqrt{72}$

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14. 如图，某施工队在道路施工时在地面 $O C$ 上设置了安全防护板，每间隔一段用一根长5米的钢筋 $A B$ 焊接在防护板上起到加固支撑作用，钢筋和防护板的焊接点A到地面上点O的距离为4米，钢筋与地面的固定点B到点O的距离为3米，已知P为 $A B$ 的中点，在固定时需调整钢筋达到最佳固定效果，当钢筋的一端A沿板面 $A O$ 向下移动，另一端B沿 $O C$ 向右移动时， $O P$ 的长（）

A、不变 B、逐渐减小 C、逐渐增大 D、先增大，后减小

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15. 有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是( )

A、 B、 C、 D、

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16. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 $\frac{40}{π} m$ 的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）米.（边缘部分的厚度忽略不计）

A、25 B、24 C、26 D、8π

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17. 如图，P是等边△ABC 内一点，连结 PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC 为边在△ABC 外作△AP'C≌△APB，连结PP'，则以下结论中错误的是 ( )

A、△APP'是等边三角形 B、△PCP'是直角三角形 C、∠APB=150° D、∠APC=135°

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18. 已知如图，图中直角三角形旁阴影部分是正方形，则正方形的面积为cm².

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19. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c， $a = \frac{1}{2} m^{2} - \frac{1}{2} ， c = \frac{1}{2} m^{2} + \frac{1}{2} ，$ n是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示).

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 内的一个动点，满足 $A C^{2} - A D^{2} = C D^{2}$ ．若 $A B = 2 \sqrt{13}$ ， $B C = 4$ ，则 $B D$ 长的最小值为．

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21. 如图，在正方形 ABCD 中， AB=4， AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是如何判断的?

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22. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间.社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB=9m ， BC=12m ， CD=17m ， AD=8m ，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°.

(1)、小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？

(2)、这片绿地的面积是多少？

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23. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}$ ．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将 $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ ， $\sqrt{10}$ 两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{8}$ ， $\sqrt{10}$ 为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断 $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ 与 $\sqrt{10}$ 的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：

(1)、填空：
∵ ${(\sqrt{2} + \sqrt{8})}^{2} =$ ， ${(\sqrt{10})}^{2} =$ ，
∴ ${(\sqrt{2} + \sqrt{8})}^{2} \neq {(\sqrt{10})}^{2}$ ，
∴ $\sqrt{2} + \sqrt{8} \neq \sqrt{10}$ ．

(2)、如图，以 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{8}$ ， $\sqrt{10}$ 为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出 $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ 与 $\sqrt{10}$ 的大小关系．

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三、拓展创新

24. 如果正整数a、b、c满足等式 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 $x + y$ 的值为（）
a
b
c
3
4
5
8
6
10
15
8
17
24
10
26
…
…
…
x
14
y

A、67 B、34 C、98 D、73

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25. 如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD ， BC ， DE属于位置可变的定长钢架．如图1所示，AD＝13cm ， BC＝20cm ，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC ， CE两边上，其中PB＝13cm ， CQ＝20cm ．当伸缩杆完全收拢（即CD∥AB）时，如图2所示，床高（CD与AB之间的距离）为12cm ，则此时伸缩杆PQ的长度为cm ．当∠ADC成180°时，伸缩杆PQ打开最大，此时PQ的长度为 $\sqrt{449}$ cm ，则固定钢架AB的长度为cm ．

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26. 若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a² ， b² ， c²的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以 $\sqrt{a}$ ， $\sqrt{b}$ ， $\sqrt{c}$ 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以 $\frac{1}{a}$ ， $\frac{1}{b}$ ， $\frac{1}{c}$ 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为．

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27. 旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.

(1)、则点P与P'之间的距离为PP'= ， $∠ A P B =$ °(直接写出答案)

(2)、在(1)的条件下，小明同学在求 $A B^{2}$ 时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算 $A B^{2} =$ (直接写出答案)

(3)、【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点， $P A = 1, P B = 2, P C = 3$ .求 $∠ A P B$ 的度数?请写出完整过程； $S_{正方形 A B C D} =$ ▲ (直接写出答案)

(4)、【学以致用】如图4，将 $△ B P A$ 绕点B逆时针旋转 $6 0^{°}$ 至 $△ B P^{'} A^{'}$ ，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知 $B A^{'} = B A = B C$ ， $∠ A^{'} B C = ∠ A^{'} B A + ∠ A B C = 12 0^{°}$ ，由 $B P^{'} = B P$ ， $∠ P^{'} B P = 6 0^{°}$ ，可知 $△ P^{'} B P$ 为等边三角形，有 $P B = P^{'} P$ .故 $P A + P B + P C = P^{'} A^{'} + P^{'} P + P C \geq A^{'} C$ ，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5， $P A + P B + P C$ 有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为(直接写出答案)

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28. 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证 $.$ 网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．

(1)、如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为 $1$ ．
$①$ 如图 $1$ ，点 $A$ 、 $B$ 在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段 $A B$ 的中点 $O ($ 不写画法，保留画图痕迹 $)$ ；
$②$ 如图 $2$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在格点上，仅用无刻度的直尺找出 $∠ A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $P$ ，并写出画图的步骤或依据；

(2)、如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B C = \sqrt{5}$ ，以 $A C$ 为边在 $A C$ 的左侧作等腰直角 $△ A C D$ ，连接 $B D$ ，求 $B D$ 的长．

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29. 我们定义：对角线相等的四边形为等对四边形．

(1)、尝试：如图1是 $6 \times 7$ 方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为5的等对四边形，要求四个顶点均在格点上；

(2)、推理：如图2，已知 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 和 $A C$ 为边在 $△ A B C$ 的外侧分别作等边三角形 $△ A B D$ 和 $△ A C E$ ，连结 $D E$ ．求证：四边形 $B C E D$ 是等对四边形：

(3)、拓展：如图3，已知四边形 $A B C D$ 是等对四边形， $A B = 4 ， B C = 2 \sqrt{7} ， C D = 2 \sqrt{3} ， ∠ B O C = 120^{\circ}$ ，求边 $A D$ 的长．

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a	b	c
3	4	5
8	6	10
15	8	17
24	10	26
…	…	…
x	14	y

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一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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