人教版八年级下册 19.3 二次根式的加法与减法同步分层训练

试卷更新日期：2026-02-02 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 下列计算错误的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{7}$ D、 ${(- \sqrt{5})}^{2} = 5$

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2. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $- \sqrt{75}$

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3. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（）．

A、小明和小丽 B、小丽和小红 C、小红和小亮 D、小丽和小亮

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4. 下列关于二次根式的说法不正确的是（）

A、 $\sqrt{2}$ 是2的算术平方根 B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{18}$ 是同类二次根式 D、 $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2} = 1$

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5. 用※定义一种新运算：对于任意实数 $m$ 和 $n$ ，规定 $m * n = m^{2} n -$ $m n - 3 n$ ，如： $19 * = 1^{2} \times 2 - 1 \times 2 - 3 \times 2 = - 6$ ．则 $(- 2) * \sqrt{3}$ 结果为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 当 $x =$ 时， $- 5 \sqrt{2 x - 4}$ 和 $2 \sqrt{5 - x}$ 两个最简二次根式是同类二次根式．

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7. 计算 $\sqrt{2} \times \sqrt{6} - \sqrt{3}$ 的结果是．

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8. 已知代数式 $A = (1 + \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x}$ ，其中 $x$ 为 $\sqrt{7}$ 的小数部分，则 $A$ 的值为．

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9. 计算

(1)、 $4 \sqrt{2} + \sqrt{8} - \sqrt{18};$

(2)、 $(\sqrt{48} - \sqrt{27}) \div \sqrt{3} + \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{3}} .$

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二、能力提升

10. 如图是一个数值转换机，若输入 $a$ 的值为 $\sqrt{14}$ ，则输出的结果为（）

A、 $2 \sqrt{7} + 2$ B、 $2 \sqrt{7} - 2$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{7} + 6$

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11. 已知 $a + b = 4$ ， $a b = 2$ ，则 $\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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12. 下列说法正确的个数是（）
①最小的负整数是-1；　　　　　　②所有无理数都能用数轴上的点表示；
③所有实数的绝对值都大于0；　　④两个无理数的和是无理数

A、1个　　 B、2个　 C、3个　 D、4个

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13. 如图，老师用5个完全相同的小长方形无重叠、无缝隙地拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为 $\sqrt{18}$ ，宽为 $\sqrt{8}$ ，小组研讨后得出下列四个结论，其中不正确的是（）

A、大长方形的长为 $6 \sqrt{2}$ B、大长方形的宽为 $5 \sqrt{2}$ C、大长方形的周长为 $22 \sqrt{2}$ D、大长方形的面积为80

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14. 已知： $P = x - 2$ ， $Q = \frac{8 x}{x - 2}$ ，关于下列两个说法，判断正确的是（）
①若Q有意义，则 $x \neq 2$ ；
②设 $y = \frac{Q}{4} - \frac{1}{P}$ ，当 $x = \sqrt{3}$ 时， $y = 4 + 3 \sqrt{3}$ ．

A、只有①正确 B、只有②正确 C、①②都正确 D、①②都不正确

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15. 若 $\sqrt{12}$ 与最简二次根式 $3 \sqrt{a + 1}$ 是同类二次根式，则 $a =$ ．

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16. 定义：对于一组关于x的多项式 $x + a$ ， $x + b$ ， $x + c$ ， $x + d$ ，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式 $x + n$ ， $x + \sqrt{5}$ ， $x + \sqrt{5} - 1$ ， $x + \sqrt{5} + 1$ 是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为．

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17. 化简： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} =$ ．

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18. 已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}, b = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，则 $3 a^{2} - 10 a b + 3 b^{2}$ 的值为．

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19. 计算：

(1)、 $（ \sqrt{8} - \sqrt{3} ） \times \sqrt{12}$ ；

(2)、（ $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ）（ $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ）﹣（ $\sqrt{6}$ ）² ．

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20. 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有： $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ， $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$ ．用配方思想方法，解答下面问题：

(1)、已知： $x + \frac{1}{x} = 5$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值；

(2)、已知： $x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求 $3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}$ 的值；

(3)、已知： $\sqrt{a} - \sqrt{2 b} = 3$ ， $\sqrt{a b} = 2$ ， $(a \geq 0, b \geq 0)$ ，求 $a + 2 b$ 的值．

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三、拓展创新

21. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $(x - \sqrt{x^{2} - 2025}) (y - \sqrt{y^{2} - 2025}) = 2025$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为.

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22. 如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足 $a ＜ m ＜ b$ （其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为 $(a ， b)$ ．例： $2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$ ，所以 $\sqrt{5}$ 的“神奇区间”为 $(2 ， 3)$ ．若某一无理数的“神奇区间”为 $(a ， b)$ ，且满足 $6 ＜ \sqrt{a} + b \leq 16$ ，其中 $x = b$ ， $y = \sqrt{a}$ 是关于x、y的二元一次方程组 $b x + a y = p$ 的一组正整数解，则 $p =$ ．

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23. 已知实数 $m$ 、 $p$ 满足等式 $\sqrt{m - 3 + n} \cdot \sqrt{3 - m - n} = \sqrt{3 m + 5 n - 2 - p} + \sqrt{m - n - p}$ ，则 $p =$ ．

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24. 小明用图①所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状(如图②).若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为.

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25. 综合与实践
【阅读理解】材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ．善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + \sqrt{2} b = {(m + \sqrt{2} n)}^{2}$ （其中 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 均为整数），则有 $a + \sqrt{2} b = m^{2} + 2 n^{2} + 2 \sqrt{2} m n$ ． $∴ a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n$ ．这样小明就找到了一种把类似 $a + \sqrt{2} b$ 的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【实践探究】（1）当 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 均为正整数时，若 $a + \sqrt{3} b = {(m + \sqrt{3} n)}^{2}$ ，用含 $m$ ， $n$ 的式子分别表示 $a$ 、 $b$ ，得 $a =$ __________， $b =$ __________；
【拓展延伸】（2）利用所探索的结论，若我们限定 $b$ 的取值范围是 $2 \leq b \leq 4$ ，写出所有的正整数 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 组合，使得 $a + \sqrt{3} b = {(m + \sqrt{3} n)}^{2}$ 成立．
（3）若 $a + 6 \sqrt{3} = {(m + \sqrt{3} n)}^{2}$ ，且 $a$ ， $m$ ， $n$ 均为正整数，求 $a$ 的值．

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26. 阅读学习：
计算： $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2} + \frac{\sqrt{5} - 2}{2 \times \sqrt{5}} .$
可以用下面的方法解决上面的问题：
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2} + \frac{\sqrt{5} - 2}{2 \times \sqrt{5}}$
$= (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}) + (\frac{2}{\sqrt{3} \times 2} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2}) + (\frac{\sqrt{5}}{2 \times \sqrt{5}} - \frac{2}{2 \times \sqrt{3}})$
$= (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}) + (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{5}})$ $= 1 - \frac{1}{\sqrt{5}}$
$= 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} .$
利用上面的方法解决下列问题：

(1)、计算： $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2} + \dots +$ $\frac{10 - \sqrt{99}}{\sqrt{99} \times 10};$

(2)、当 n=时，等式 $\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n + 1}} +$ $\frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \cdot \sqrt{n + 2}} + \frac{\sqrt{n + 3} - \sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 2} \cdot \sqrt{n + 3}} = \frac{1}{\sqrt{n + 3}}$ 成立.

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