人教版八年级下册 19.2 二次根式的乘法与除法同步分层训练

试卷更新日期：2026-02-02 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$ 的计算结果是（）

A、 $\pm 3$ B、3 C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{8 + 6} = \sqrt{8} + \sqrt[]{6}$ B、 $\sqrt{(- 4) \times (- 9)} = \sqrt{- 4} \times \sqrt{- 9}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{9 \frac{1}{3}} = 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{8}$ B、 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = 6$ D、 $\sqrt[3]{27} = 3$

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4. 下列根式中的最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{m^{2}}$

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5. 在下列各式中，不能再化简的二次根式是( )

A、 $\sqrt{0.3}$ B、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{28}$

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6. 计算 $\sqrt{12} \times \sqrt{3},$ 结果是.

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7. 若 $\sqrt{3 a - 4}$ 是最简二次根式，则整数a的最小值为 .

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8. 下列各式 $\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{0.2}, \sqrt{2}, \sqrt{20}$ 中是最简二次根式的有个．

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二、能力提升

9. 下列各等式成立的是（　　）

A、4 $\sqrt{5}$ ×2 $\sqrt{5}$ =8 $\sqrt{5}$ B、5 $\sqrt{3}$ ×4 $\sqrt{2}$ =20 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{3}$ ×3 $\sqrt{2}$ =7 $\sqrt{5}$ D、5 $\sqrt{3}$ ×4 $\sqrt{2}$ =20 $\sqrt{6}$

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10. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{1.5}$ C、 $\sqrt{25}$ D、 $\sqrt{26}$

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11. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 $\sqrt{3}$ ，则最后输出的结果是（）．

A、24 B、 $15 + 7 \sqrt{3}$ C、25 D、 $15 + 5 \sqrt{3}$

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12. 已知化简 $\sqrt{75} \cdot \sqrt{a}$ 的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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13. 下列各数中，与 $\sqrt{2}$ 的积仍为无理数的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{8}}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{28}$

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14. 等式 $\sqrt{\frac{3 - x}{x + 2}} = \frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x + 2}}$ 成立的条件是 .

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15. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 $A + B + C + D =$ ．
A
B
$5 \sqrt{2}$
5
$\sqrt{10}$
C
$\sqrt{2}$
10
D

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16. 已知最简根式 $\sqrt[b + 1]{2 a - 5}$ 与 $\sqrt{3 b - 1}$ 是同类二次根式，则 $a =$ ， $b =$

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17. 计算：

(1)、 $4 \sqrt{15} \times 2 \sqrt{3} \div \sqrt{5}$

(2)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{3}{4} \div 3 \sqrt{2}$

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18. 简化： $\frac{\sqrt{3 a}}{2 b} \cdot (\sqrt{\frac{b}{a}} \div 2 \sqrt{\frac{3}{b}})$

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19. 先化简，再求值： ${(a - b)}^{2} + (a + b) (a - b) - 2 a (a - 2 b)$ ，其中 $a = \sqrt{3} + 1$ ， $b = \sqrt{3} - 1$ ．

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三、拓展创新

20. 等式 $\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} = \sqrt{x^{2} - 1}$ 成立的条件是(　　).

A、x≥1 B、x≥-1 C、-1≤x≤1 D、x≥1或x≤-1

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21. 任意一个二次根式 $\sqrt{p}$ （ $p$ 为正整数），都可以进行这样的分解： $\sqrt{p} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ （ $a, b$ 都是正整数，且 $a \leq b$ ），在 $p$ 的所有这种分解中，若 $\sqrt{b} - \sqrt{a}$ 最小，我们就称 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ 是 $\sqrt{p}$ 的最佳分解，并记为： $F (p) = \frac{a}{b}$ ．例如 $\sqrt{12}$ 可以分解成 $\sqrt{1} \times \sqrt{12}, \sqrt{2} \times \sqrt{6}$ 或 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ ，显然 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ 是 $\sqrt{12}$ 的最佳分解，此时 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．若正整数 $m, n$ 满足 $F (m) = \frac{4}{5}$ ， $F (n) = 1$ ，且 $20 < m + n < 25$ ，则 $\sqrt{m n}$ 的值为．

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22. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} \dots$ ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \dots$ ②(其中 $p = \frac{a + b + c}{2}) .$

(1)、若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.

(2)、你能否由公式①推导出公式②?请试试.

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A	B	$5 \sqrt{2}$
5	$\sqrt{10}$	C
$\sqrt{2}$	10	D

人教版八年级下册 19.2 二次根式的乘法与除法 同步分层训练

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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