人教版八年级下册 19.1 二次根式及其性质同步分层训练

试卷更新日期：2026-02-02 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 实数 $a$ 在数轴上的位置如图所示，化简： $|a - 1| + \sqrt{{(a - 2)}^{2}} =$ （）

A、 $3 - 2 a$ B、 $2 a - 3$ C、 $- 1$ D、1

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2. 若式子 $\sqrt{2 m - 3}$ 有意义，则m 的取值范围是（）

A、 $m \leq \frac{2}{3}$ B、 $m ⩾ - \frac{3}{2}$ C、 $m \geq \frac{3}{2}$ D、 $m ⩽ - \frac{2}{3}$

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3. 下列式子是二次根式的是（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{- 3}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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4. 当x＝时， $\sqrt{x - 1}$ 的值最小．

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5. 化简 $\sqrt{{(- 2025)}^{2}} =$ ．

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6. 在代数式：① $\sqrt{2^{- 1}}$ ， ② $\sqrt{- 2^{2}}$ ， ③ $\sqrt{a}$ ， ④ $\sqrt{2 - x}$ （x≤2），⑤ $\sqrt[3]{2}$ ， ⑥ $\sqrt{a^{2} + 2 a + 1}$ 中，属于二次根式的是（填序号）.

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二、能力提升

7. 二次根式 $\sqrt{x^{3} y} (y < 0)$ 化简结果正确的为（）

A、 $x \sqrt{x^{2} y}$ B、 $- x \sqrt{x^{2} y}$ C、 $x \sqrt{x y}$ D、 $- x \sqrt{x y}$

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8. 已知 $\sqrt{3 x - 6} + \sqrt{6 - 3 x} + y = 2025$ ，则 $\sqrt{2025 x y}$ 的值为（）

A、 $2025 \sqrt{3}$ B、 $2025 \sqrt{2}$ C、2025 D、4050

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9. 若等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} -$ $\sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是( )

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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10. 将 $\sqrt{3^{2} \times 8}$ 化简，正确的结果是（　　）

A、3 $\sqrt{8}$ B、 $\pm$ 3 $\sqrt{8}$ C、6 $\sqrt{2}$ D、 $\pm 3 \sqrt{2}$

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11. 已知|2024-a|+ $\sqrt{a - 2025}$ =a，则a-2024²=.

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12. 请写出一个正整数m的值使得 $\sqrt{8 m}$ 是整数， $m =$ ．

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13. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是 $\sqrt{5} - 1$ ，它介于整数n和n+1之间，则n的值是.

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14. 求代数式 $a + \sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值，其中 $a = - 2022$ ．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：解：原式 $= a + \sqrt{{(a - 1)}^{2}} = a + 1 - a = 1$ ，
小亮：解：原式 $= a + \sqrt{{(a - 1)}^{2}} = a + a - 1 = - 4045$ ．

(1)、的解法是错误的；

(2)、求代数式 $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ 的值，其中 $a = \sqrt{7}$ ．

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三、拓展创新

15. 计算 $\sqrt{{(- 11)}^{2}}$ +|-11|- $\sqrt{11^{2}}$ ，正确的结果是（）

A、-11 B、11 C、22 D、-22

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16. 若 $a^{2} + b^{2} = 4, \sqrt{a b^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 8 a - 4 b - 16} + | b^{2} + 2 b + 9 |$ 的值为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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17. 化简 $\sqrt{23 - 6 \sqrt{10 + 4 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}}$ 的结果是（）

A、 $3 + \sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 - \sqrt{2}$

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18. 已知， $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 4 - x$ ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是.

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19.

(1)、已知a<0，化简 $\sqrt{4 - {(a + \frac{1}{a})}^{2}} - \sqrt{4 + {(a - \frac{1}{a})}^{2}} =$ .

(2)、当 1≤x≤2 时，经化简， $\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} =$ .

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20. 先阅读材料，再解答问题：
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当 $x = \sqrt{3} + 1$ 时，求 $\frac{1}{2} x^{3} - x^{2} - x + 2$ 的值.
为解答这道题，若直接把 $x = \sqrt{3} + 1$ 代入所求的式子中进行计算显然很麻烦，我们可以通过恒等变形对本题进行解答：
将条件变形，由 $x = \sqrt{3} + 1 ，$ 得 $x - 1 = \sqrt{3} ，$ 再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由 $x - 1 = \sqrt{3} ，$ 得 $x^{2} - 2 x + 1 = 3 ，$ 即 $x^{2} - 2 x = 2 ， x^{2}$ =2x+2.
原式 $= \frac{1}{2} x (2 x + 2) - x^{2} - x + 2 = x^{2} + x - x^{2} - x + 2 = 2$

(1)、若 $x = \sqrt{2} - 1 ，$ 求 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1$ 的值.

(2)、若 $x = 2 + \sqrt{3} ，$ 求 $\frac{x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 4 x + 3}$ 的值.

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人教版八年级下册 19.1 二次根式及其性质 同步分层训练

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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