湖南省衡阳市一中教育集团2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2026-02-02 类型：期末考试

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一、选择题(每小题3分，共10小题)

1. 下列事件中是必然事件的是( )

A、本次考试小明同学能考120分 B、明天早上6：30会下雨 C、明天太阳从东边升起 D、小军后天到衡阳旅游的飞机会晚点

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2. 二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 中x的取值范围是( )

A、x≥1 B、x>1 C、x>0 D、任意实数

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3. 下列调查中，适合采用全面调查的是( )

A、了解某班同学的跳绳成绩 B、了解全国参观过大雁塔的人数情况 C、了解衡阳某工厂某批次生产的汽车抗撞击能力情况 D、了解全省商城的羽绒服销售数量情况

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4. 已知⊙O 的半径为10cm，点P 与圆心O的距离为d，下列情况中点P 在⊙O上的是( )

A、d=8cm B、d=10cm C、d=12cm D、d=15cm

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5. 若 $c o s α = \frac{1}{2},$ 则α的度数为( )

A、30° B、45° C、60° D、90°

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6. 已知关于x的方程 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 的一个根是3，则它的另一个根是 ( )

A、-1 B、1 C、3 D、- 3

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7. 据船山实验中学对某毕业班学生三年来获得市级荣誉情况的统计，七年级时有2人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时有10人次获奖，若设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，则下列所列方程正确的是 ( )

A、2(1+x)=10 B、 $2 {(1 + x)}^{2} = 10$ C、 $2 {(1 + x)}^{3} = 10$ D、 $2 + 2 (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} = 10$

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8. 下列图形中是位似图形的是 ( )

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，点A、B、C在⊙O上， ∠AOB=62°，则∠ACB= ( )

A、62° B、31° C、28° D、45°

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10. 从如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象中，观察得出了以下五条信息：①abc>0②a-b+c>0③2a-3b=0④2a+b>0其中正确的是 ( )

A、①②③ B、①②④ C、①②⑤ D、②③④

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二、填空题(每小题3分，共6小题)

11. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 25 = 0$ 的解是 .

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12. 如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧 $(\hat{A B}),$ 点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角为90°，则这段弯路( $\hat{A B}$ )的长度为m.

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13. 二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - 5$ 的对称轴是.

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14. 如图， AB为⊙O的直径，点C、D 是BE的三等分点， ∠AOE=60°，则∠BOD 的度数为.

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15. 如图，⊙O是正五边形的外接圆，连接AD，则∠BAD的度数为.

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16. 如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 4$ 与x轴交于点A 和B，点A 在点B的左侧，交y轴于点 C，作直线BC.当点D 在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD 交BC 于点E，若 $\frac{D E}{O E} = \frac{1}{2},$ 则点 D 坐标为.

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三、解答题 (本大题共8 小题，共66分)

17. 计算： $\sqrt{8} + {(\sqrt{2026} - 2025)}^{0} - 2 s i n 4 5^{\circ} .$

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18. 如图1为衡阳“雁城之星”摩天轮，如图2，为了测得衡阳“雁城之星”摩天轮最高处的高度AB，在D 处用高为1.2米的测角仪CD，测得摩天轮顶端A的仰角为 $4 5^{\circ},$ ，再向摩天轮方向前进120米，又测得摩天轮顶端A的仰角为( $6 1^{\circ} 。$ 求这个摩天轮最高处的高度AB约为多少?(可供参考数据： $t a n 6 1^{\circ} \approx 1.8)$

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19. 船山实验中学为落实“1+3”体艺工作，为学生拓展视野，均衡发展，成立了5个选修课堂小组(每位学生只能参加一个活动小组)：A.音乐；B.体育；C.美术；D.影视赏析；E编程.为了解学生对以上选修课的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：

(1)、①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生；
②补全条形统计图(在条形图上方注明人数)；
③扇形统计图中圆心角α= ▲ 度；

(2)、陈老师计划从B组(体育)的三名男生、一名女生中中随机抽取两人参加市田径竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中一名男生一名女生的概率.

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20. 衡阳南岳衡山某文创商店开始时，将每件进价为10元的商品按每件14元出售，每天可售出100件.后来店方想采用提高售价的办法来增加利润.经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.

(1)、要保证利润为450元且要让利于顾客，则应该把售价提高为多少元?

(2)、每件售价定为多少元，才能使每天所得的利润最大?最大利润是多少?

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21. 如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，将△ADC 沿着AD折叠得到△ADC' ， AC' 交BC 于点 E， DC'∥AB.

(1)、求证： △BEA∽△BAC；

(2)、若AB=12， DC=8，求AC的值及 BC的长.

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22. 如图，在△ABC 中， ∠ABC=90°，以AB 的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC 于点 D，点E 是BC的中点，连接DE， OE.

(1)、判断DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $c o s ∠ B A D = \frac{4}{5}, B E = 6,$ 求OE的长.

(3)、求证： $B C^{2} = C D \cdot 2 O E .$

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23. 如图， ∠ABC=∠DBE=90°， ∠BAC=∠BDE=30°， BC=3， BE=2.

(1)、特例发现：
① $t a n 3 0^{\circ} =$ ；
②如图1，当点 D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论： $\frac{A D}{C E} =$ ，直线AD与直线CE的位置关系是；

(2)、探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B 顺时针旋转，使点D 恰好落在线段AC上，连接EC，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B 顺时针旋转α(α<90°) ，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求CE的值.

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24. 定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的"巧点"，例如(1， 2) 是函数y=2x的“巧点”； (-2， - 4) 是函数 $y = \frac{8}{x}$ 的“巧点”.

(1)、①已知抛物线的顶点坐标为(2，1)，且经过点 (0，5)，求该抛物线的解析式.
②上述函数的图象上是否存在“巧点”?若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由；

(2)、动点(m， 3m-3)，(n， $\frac{1}{2}$ n-2)分别在直线l₁ ， l₂上，直线l₃过直线l₁ ， l₂的“巧点”，在直线l₁ ， l₃上分别取点 $(a^{2} + a, b_{1}) ， (a^{2} + a, b_{2})$ $,$ 试求 $b_{1} - b_{2}$ 的最小值；

(3)、将函数 $y = x^{2} + 4 x$ 的图象绕y轴上一点 P 旋转180°，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点P的坐标.

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