第1章二次根式章节过关（基础)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测

试卷更新日期：2026-01-30 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{3}$ ， 2， $\sqrt{5}$ B、1， $\sqrt{3}$ ， 2 C、3，6，7 D、6，8，12

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2. 方程 $\sqrt{3} x = \sqrt{6}$ 的解为（）

A、 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $x = \sqrt{2}$ D、 $x = 2 \sqrt{3}$

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3. 估计 $\sqrt{\frac{1}{5}} \times (\sqrt{45} + \sqrt{15})$ 的值在（）

A、3到4之间 B、4到5之间 C、5到6之间 D、6到7之间

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4. 已知 $\sqrt{7} = a$ ， $\sqrt{70} = b$ ，则 $\sqrt{4.9}$ 用a，b表示为（）

A、 $\frac{a + b}{10}$ B、 $\frac{a - b}{10}$ C、 $\frac{b}{a}$ D、 $\frac{a b}{10}$

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5. 计算 $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2024} \times (\sqrt{2} - \sqrt{3})^{2025}$ ，结果是( )

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ B、-1 C、 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

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6. 已知是正整数，则实数n的最大值为（）

A、12 B、11 C、8 D、3

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7. 设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

8. 代数式 $\sqrt{x + 1}$ 中x的取值范围是.

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9. 当 $x =$ 时， $- 5 \sqrt{2 x - 4}$ 和 $2 \sqrt{5 - x}$ 两个最简二次根式是同类二次根式．

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10. 一块面积为5 m² 的正方形桌布，其边长为m，这个边长（填“是”或“不是”）二次根式.

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11. 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 $\sqrt{7}$ m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( $600 \sqrt{2} m$ 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为.

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12. 已知 $|x + 2| + \sqrt{y - 1} = 0$ ，那么 ${(x + y)}^{2024}$ 的值为．

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13. 任意一个二次根式 $\sqrt{p}$ （ $p$ 为正整数），都可以进行这样的分解： $\sqrt{p} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ （ $a, b$ 都是正整数，且 $a \leq b$ ），在 $p$ 的所有这种分解中，若 $\sqrt{b} - \sqrt{a}$ 最小，我们就称 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ 是 $\sqrt{p}$ 的最佳分解，并记为： $F (p) = \frac{a}{b}$ ．例如 $\sqrt{12}$ 可以分解成 $\sqrt{1} \times \sqrt{12}, \sqrt{2} \times \sqrt{6}$ 或 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ ，显然 $\sqrt{3} \times \sqrt{4}$ 是 $\sqrt{12}$ 的最佳分解，此时 $F (12) = \frac{3}{4}$ ．若正整数 $m, n$ 满足 $F (m) = \frac{4}{5}$ ， $F (n) = 1$ ，且 $20 < m + n < 25$ ，则 $\sqrt{m n}$ 的值为．

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三、解答题（共8题，共72分）

14. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{27};$

(2)、 $4 \sqrt{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{8} .$

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15. 如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB 于点 D.若 $A B = \frac{1}{4},$ 求CD的长.

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16. 婷婷对“化简： $\sqrt{8} \times$ $\sqrt{18} "$ 的解答过程如下：
解：原式 $= 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2} = (2 \times 3) \times {(\sqrt{2})}^{2} = 6 \times$ 2=12.
婷婷的解答过程是否正确?若正确，请你再写出一种解答过程；若不正确，请你写出正确的解答过程.

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17. 化简：

(1)、 $\sqrt{- m^{3}};$

(2)、 $\sqrt{\frac{b^{3}}{a^{2}}} (a⟩ 0) .$

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18. 已知 $b = \sqrt{a - 4} + \sqrt{4 - a} + 3$ ，求 $a^{b}$ 的值．

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19. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10}$ ．
在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析：
小智的思路：将 $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ ， $\sqrt{10}$ 两个式子分别平方后再进行比较；
小慧的思路：以 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{8}$ ， $\sqrt{10}$ 为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断 $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ 与 $\sqrt{10}$ 的大小关系．
根据小智与小慧的思路，请解答下列问题：

(1)、填空：
∵ ${(\sqrt{2} + \sqrt{8})}^{2} =$ ， ${(\sqrt{10})}^{2} =$ ，
∴ ${(\sqrt{2} + \sqrt{8})}^{2} \neq {(\sqrt{10})}^{2}$ ，
∴ $\sqrt{2} + \sqrt{8} \neq \sqrt{10}$ ．

(2)、如图，以 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{8}$ ， $\sqrt{10}$ 为三边构造△ABC．
①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由；
②根据图形直接写出 $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ 与 $\sqrt{10}$ 的大小关系．

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20. 阅读理解：
[材料一]两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如： $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ ， $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4$ ，我们称 $\sqrt{5}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{8}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$ ．
[材料二]小明在学习了上述材料后，结合所学知识，灵活解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样分析与解答的：
∵ $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ ，
∴ $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ ，
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据材料中的方法，探索并解决下列问题：

(1)、 $\sqrt{13}$ 的一个有理化因式是______，分母有理化： $\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}} =$ ______；

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2024}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a + 5$ 的值．

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第1章 二次根式章节过关（基础)—浙教版数学八（下）核心素养达标检测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

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