甘肃省兰州市八校联考2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2026-01-13 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x ∣ {log}_{2} x < 2\} ， B = {x ∣ |x - 1| < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $（ 0, 2 ）$ B、 $（ 0, 3 ）$ C、 $（ 1, 4 ）$ D、 $（ 1, 2 ）$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = |3 + 4 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（　　）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{2} i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （　　）

A、1 B、2 C、3 D、5

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4. 记 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1, S_{3} = \frac{7}{4}$ ，则 $S_{5} =$ （　　）

A、 $\frac{31}{16}$ B、 $\frac{33}{16}$ C、 $\frac{31}{8}$ D、 $\frac{33}{8}$

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5. 已知 $a = {log}_{2} 3 ， b = {log}_{3} 2 ， c = 2^{- 0.5}$ ，则（　　）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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6. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $ϕ (ϕ > 0)$ 个单位后关于原点对称，则 $ϕ$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）

A、 $25 π$ B、 $50 π$ C、 $125 π$ D、都不对

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x) \leq |f (\frac{π}{6})|$ 且函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 满足 $T \in (\frac{π}{5}, \frac{π}{3})$ ，则 $T =$ （）

A、 $\frac{2 π}{7}$ B、 $\frac{2 π}{9}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{4 π}{15}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. （多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（）．

A、 $\exists x \in Z$ ， $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ B、至少有一个 $x \in Z$ ，使 $x$ 能同时被2和3整除 C、 $\exists x \in R$ ， $|x| < 0$ D、有些自然数是偶数

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10. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \frac{10}{3}$ B、若 $3 \vec{a} + \vec{b} = (2, - 1, 10)$ ，则 $x = 1$ C、若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{b}$ ，则 $x = 4$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角，则 $x \in (\frac{10}{3}, + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、当 $a \leq 0$ 时， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个极小值点 C、当 $a = e$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立 D、若方程 $f (x) = 0$ 有两个不同的实数根，则 $a > e$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ ，则 $a_{2025} =$ ．

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13. 已知向量 $\vec{a} = (cos θ, sin θ), \vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $θ =$ ．（写出一个值即可）

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - l n x ， 0 < x \leq 1 \\ 1 - {(x - 2)}^{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x + {cos}^{2} x - \frac{1}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\sqrt{3} a sin C = c (2 + cos A)$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值．

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17. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $O$ ， $E$ 分别是 $B D$ ， $B C$ 的中点， $C A = C B = C D = B D = 2$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值.

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18. 设 $\{a_{n}\}$ 是正项数列，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = \frac{1}{8} {(a_{n} + 2)}^{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{2} (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}) (n \in N^{*})$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - cos x - a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty ）$ 上的最小值；

(2)、若对任意的 $x \geq 0$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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