浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2026-01-26 类型：期末考试

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一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)

1. 若2x=5y，则 $\frac{y}{x}$ 的值为( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 下列事件中，属于不可能事件的是( )

A、蜡烛在真空中燃烧 B、射击运动员射击一次，命中靶心 C、班里的三名同学，他们的生日是同一天 D、经过红绿灯路口，遇到绿灯

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3. 下列二次函数中，对称轴是直线x=1的是( )

A、 $y = - 2 x^{2} + 2$ B、 $y = x^{2} - 1$ C、 $y = x^{2} - 2 x$ D、 $y = - 2 x^{2} - 2 x$

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4. 如图，在⊙O中，OA，OB为半径，点C为⊙O上一点，若∠AOB=110°，则∠ACB的度数是( )

A、45° B、55° C、70° D、110°

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5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中a是1.2米，则b大约是( )

A、1.84米 B、1.94米 C、2.04米 D、2.14米

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6. 如图，已知点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC.若DE=2k，BC=3k，BD=4，则AD的长是( )

A、4 B、6 C、8 D、10

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7. Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2BC，下列结论： $① s i n A = \frac{1}{2}; ② c o s B = \frac{\sqrt{5}}{5}; ③ t a n A = \frac{1}{2}; ④ t a n B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，其中结论正确的是( )

A、②③ B、②④ C、①③ D、①④

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8. 如图是一段圆弧 $\overset{⏜}{A B}$ ，点O是这段弧所在圆的圆心，C为 $\overset{⏜}{A B}$ 上一点，OC⊥AB于D点.若AB= $6 \sqrt{3}, O D = 3,$ 则 $\overset{⏜}{A B}$ 的长是( )

A、3π B、 $2 \sqrt{3} π$ C、4π D、6π

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9. 如图，在矩形ABCD中，BC=3AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F，且EF平分∠BED，若DF=6，则BE的长为( )

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、5

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点为 D(-1，2)，与x轴的一个交点A 在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc<0；②若方程 $a x^{2} + b x + c - m = 0$ 没有实数根，则m>2；③3b+2c<0；④图象上有两点 P(x₁ ， y₁)和Q(x₂ ， y₂)，若 $x_{1} + x_{2} < - 2,$ 则一定有y₁>y₂.正确的是( )

A、①② B、③④ C、①③ D、②③

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二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)

11. 掷一个材质均匀的骰子，向上一面的点数是6的概率是.

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12. 若两个相似多边形的面积比是1：4，则它们的相似比是.

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13. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积是(结果保留π).

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14. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式是.

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15. 如图，AB为⊙O 的切线，点A 为切点，OB交⊙O 于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC=28°，则∠ABO的大小是°.

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16. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，斜边AB上一点E满足AE=AC，连结EC.点 F是射线CE上的点，连结BF，△BEF的一个内角与∠A 相等，则EF的长为.

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三、解答题(本题有8小题，共72分)

17. 计算： $2 c o s 4 5^{\circ} + 2 s i n 3 0^{\circ} + t a n 6 0^{\circ} + {(- 1)}^{2025} .$

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18. 一只不透明的布袋里装有3个小球(除颜色外其余均相同)，其中2个红球，1个白球.

(1)、摸出一个球是红球的概率；

(2)、从布袋里摸出1个小球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个小球.求两次都摸到红球的概率.

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19. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，∠BCD=45°.

(1)、求证：AD=BD；

(2)、若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O 的半径.

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20. 如图，游乐园计划在点O 处安装一个高2m 的喷水头OA，使得喷出的水柱正好落到距离O点10m处的B点，且在距离O点4m 处达到最高.已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、求出水柱的最高点的高度.

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21. 某旅游景区一宾馆重新装修后，有50间房可供游客居住.经市场调查发现，每间房每天的定价为160元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会有一间房空闲.如果游客居住房间，每间房每天需支出60元的各项费用.设每天每间房的定价增加x元，宾馆获利为y元.

(1)、求y关于x的函数关系式(不用写出自变量的取值范围)；

(2)、物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利8000元?

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22. 某公司推出了一款护眼灯，其侧面示意图如图所示(台灯底座AB高度忽略不计)，其中灯柱BC=20cm，灯臂(CD=30cm，灯罩 $D E = 18 c m, B C ⟂ A B,$ CD，DE分别可以绕点 C，D上下调节一定的角度.经使用发现：当 $∠ D C B = 14 0^{\circ}, 且 E D ‖ A B$ 时，台灯光线最佳.

(1)、求台灯光线最佳时 $∠ E D C$ 的度数；

(2)、求台灯光线最佳时点D 到桌面AB的距离.(精确到0.1cm，参考数值： $s i n 5 0^{\circ} \approx 0.77, c o s 5 0^{\circ} \approx 0.64, t a n 5 0^{\circ} \approx 1.19)$

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23. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a⟩ 0)$ 的图象经过点A(-1，1)和B(2，4).

(1)、求a，b满足的关系式；

(2)、当自变量x的值满足-1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；

(3)、若函数图象与x轴无交点，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围.

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24. 如图1，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一动点(不与点A，B重合)，CD⊥AB于点G，E为 $\overset{⏜}{A C}$ 上的一动点，延长AE交DC的延长线于点 F，连结AC，CE，CB.

(1)、求证：∠ACG=∠ABC；

(2)、若 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}, E C = 2,$ 求CF的长；

(3)、如图2，若AB=20，AE=16，EC=2BC，求EF的长.

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