1.3 二次根式的运算—浙教版数学八（下）核心素养达标检测

试卷更新日期：2026-01-25 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如果最简二次根式 $\sqrt{a + 2}$ 与 $\sqrt{12}$ 能够合并，那么a的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、10

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2. 如图，已知斜坡AB，且 BC⊥AC，则斜坡 AB 的坡比指的是（）

A、AB：BC B、AB：AC C、AC：BC D、BC：AC

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3. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ABCD，它的面积是75， $A E = 3 \sqrt{3},$ ，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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4. 下列二次根式中，与 $\sqrt{2}$ 不属于同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{12}$

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5. 已知 $a = \sqrt{3} + 1$ ， $b = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，则a与b的关系为（）.

A、a=b B、ab=1 C、a=－b D、ab=－1

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{8}$ C、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$

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7. 若等腰三角形的两边长分别为 $\sqrt{50}$ 和 $\sqrt{72}$ ，则这个三角形的周长为（　　）

A、 $11 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ 或 $17 \sqrt{2}$ C、 $17 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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8. 已知 $a_{0} = \sqrt{5}$ ，将 $a_{0}$ 的整数部分加上 $a_{0}$ 的小数部分的倒数得到 $a_{1}$ ，再将 $a_{1}$ 的整数部分加上 $a_{1}$ 的小数部分的倒数得到 $a 2$ ，以此类推可得到 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ，如 $\sqrt{5}$ 的整数部分为 $2$ ，小数部分为 $\sqrt{5} - 2 .$ 所以 $a_{1} = 2 + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 4 .$ 根据以上信息，下列说法正确的有( )
$① a_{3} = \sqrt{5} + 12$ ；
$② a_{2025}$ 的小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ；
$③ a_{23} - a_{22} = \sqrt{5} + 2$ ；
$④ \frac{1}{(a_{2} - \sqrt{5}) (a_{4} - \sqrt{5})} + \frac{1}{(a_{4} - \sqrt{5}) (a_{6} - \sqrt{5})} + . . . + \frac{1}{(a_{98} - \sqrt{5}) (a_{100} - \sqrt{5})} = \frac{49}{3200}$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（每题3分，共18分）

9. 计算： $\sqrt{3} + \sqrt{12} =$ ．

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10. 最简二次根式 $\sqrt{2 a - 1}$ 与 $\sqrt{5}$ 可以合并，则a= ．

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11. 已知 $a + b = 3 + \sqrt{2}, a - b = 3 - \sqrt{2}$ ，求代数式 $2 a^{2} - 2 b^{2}$ 的值是．

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12. 若 $A = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}, B = 1,$ 则AB(填“>”“<”或“=”).

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13. 已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}, b = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，则 $3 a^{2} - 10 a b + 3 b^{2}$ 的值为．

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14. 定义：对于一组关于x的多项式 $x + a$ ， $x + b$ ， $x + c$ ， $x + d$ ，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式 $x + n$ ， $x + \sqrt{5}$ ， $x + \sqrt{5} - 1$ ， $x + \sqrt{5} + 1$ 是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为．

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三、解答题（共8题，共72分）

15. 计算
（1） $\sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}$ ；（2） $(\sqrt{3} + 2) (2 - \sqrt{3}) + {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$

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16. 在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 $2 \sqrt{3} c m,$ ，宽增加7 $\sqrt{3}$ cm，就得到一个面积为 192 cm² 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.

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17. 如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD（i=CE：ED，单位：m）.

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18. 已知 $x = \sqrt{5} + 2$ ， $y = \sqrt{5} - 2$ ，求代数式 $x^{2} - y^{2}$ 的值．

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19. 先化简，再求值： $\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{2} - x y} \div (x + \frac{2 x y + y^{2}}{x}) \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ 其中 $x = 2 + \sqrt{3}, y = 2 - \sqrt{3}$

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20. 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有： $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ， $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$ ．用配方思想方法，解答下面问题：

(1)、已知： $x + \frac{1}{x} = 5$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值；

(2)、已知： $x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ ，求 $3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2}$ 的值；

(3)、已知： $\sqrt{a} - \sqrt{2 b} = 3$ ， $\sqrt{a b} = 2$ ， $(a \geq 0, b \geq 0)$ ，求 $a + 2 b$ 的值．

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21. 阅读学习：
计算： $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2} + \frac{\sqrt{5} - 2}{2 \times \sqrt{5}} .$
可以用下面的方法解决上面的问题：
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2} + \frac{\sqrt{5} - 2}{2 \times \sqrt{5}}$
$= (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}) + (\frac{2}{\sqrt{3} \times 2} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2}) + (\frac{\sqrt{5}}{2 \times \sqrt{5}} - \frac{2}{2 \times \sqrt{3}})$
$= (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}) + (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{5}})$ $= 1 - \frac{1}{\sqrt{5}}$
$= 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} .$
利用上面的方法解决下列问题：

(1)、计算： $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times 2} + \dots +$ $\frac{10 - \sqrt{99}}{\sqrt{99} \times 10};$

(2)、当 n=时，等式 $\frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n + 1}} +$ $\frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}}{\sqrt{n + 1} \cdot \sqrt{n + 2}} + \frac{\sqrt{n + 3} - \sqrt{n + 2}}{\sqrt{n + 2} \cdot \sqrt{n + 3}} = \frac{1}{\sqrt{n + 3}}$ 成立.

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22. 嘉琪在学习《二次根式》时，发现一些含有根号的式子也可以写成完全平方式的形式，如 $3 + 2 \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ ，善于思考的嘉琪进行了如下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中a ， b ， m ， n均为正整数），则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 m n \sqrt{2} + 2 n^{2}$ ．
所以 $a = m^{2} + 2 n^{2}, b = 2 m n$ ．这样，嘉琪找到了把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为完全平方式的方法请你仿照嘉琪的方法探索并解决问题：

(1)、当a ， b ， m ， n均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ，用含m ， n的式子分别表示a和b；

(2)、利用所探索的结论，找一组满足（1）中关系式 $a + b \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ 的正整数a ， b ． m ． n；

(3)、若 $a + 4 \sqrt{3} = (m + n \sqrt{3})^{2}$ ．且a ， b ， m ， n均为正整数，求a的值．

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