四川省遂宁市安居育才中学校2026届高三上学期1月考试数学试题

试卷更新日期：2026-01-17 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = |- i|$ ，则 $z$ 为（）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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2. 某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为 $4 : 5 : 6$ ，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.

A、16 B、18 C、20 D、24

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3. 已知 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）.

A、若 $m / / α$ ， $n / / β$ ， $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ， $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$

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4. 若 $sin (π - θ) = \sqrt{3} cos (\frac{π}{3} - θ)$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{11}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{11}$

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5. 有学员甲、乙、丙、丁、戊参加某培训，现要分配到三个不同的项目组：项目A需1人，项目B和C各需要2人.分配方案数为 $a$ ，甲和乙被分配到同一项目的概率为 $p$ ，则 $a 、 p$ 的值分别为（）

A、 $a = 30, p = \frac{2}{5}$ B、 $a = 30, p = \frac{1}{5}$ C、 $a = 15, p = \frac{2}{5}$ D、 $a = 15, p = \frac{1}{5}$

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6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{3} + a_{5} + a_{7} = - 8, \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{5}} + \frac{1}{a_{7}} = - 2$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $\pm 2 \sqrt{2}$ C、 $- 2$ D、 $\pm 2$

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7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 是抛物线 $C$ 上一动点， $O$ 为坐标原点， $Q$ 在线段 $P F$ 上，且满足 $4 P Q = Q F$ ，则直线 $O Q$ 的斜率的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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8. 为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即 $\frac{n (A)}{n (B)} = \frac{S (A)}{S (B)}$ ，其中 $S (A), S (B)$ 为事件 $A, B$ 对应区域的面积， $U$ 表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且将函数 $f (x)$ 的图象向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、当 $φ = 0$ 时，函数 $g (x) = - \cos 2 x$ C、若 $(\frac{π}{12}, 0)$ 是函数 $g (x)$ 的一个对称中心，则 $φ = \frac{π}{3}$ D、当 $φ = \frac{π}{4}$ 时，函数 $f (x)$ 在区间 $[- a, a]$ 上单调递增，则 $a$ 的最大值为 $\frac{π}{8}$

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10. 设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (\bar{A}) = \frac{1}{2}, P (\bar{B}) = \frac{1}{3}, P (A \bar{B}) = \frac{1}{12}$ ，则（）

A、 $P (A + \bar{B}) = \frac{3}{4}$ B、 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A ∣ \bar{B}) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B ∣ A) = \frac{5}{6}$

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11. 已知函数 $f (x) = a^{x} - a^{\frac{1}{x}}, a > 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、对任意的 $a > 1, f (x)$ 均有两个零点 B、若方程 $f (x) = m$ 有两实根，则 $m \in (- \infty, 1]$ C、若正实数 $s, t$ 满足 $f (s) + f (t) = 0$ ，则 $s + t \geq 2$ D、若 $s + t = 0$ ，则 $f (s) + f (t) \geq 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知平面向量 $\vec{a} = (n, 1), \vec{b} = (1, n)$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，且 $(\vec{a} - k \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ， $k$ 为实数，则 $k =$ .

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13. 从数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相邻数字大（形如“低一高一低一高一低”），则称其为“龙脉数”，则所组成的数为“龙脉数”的概率为.

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14. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} = 4, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数 \\ \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数 \end{matrix}$ ，则 $S_{150} =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin C = c \sin 2 A$ .

(1)、求A；

(2)、若 $c - 2 b = 2, a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\sin (A - B)$ .

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形， $A B ⊥$ 平面 $C B B_{1} C_{1}, A B = B B_{1} = 2$ ，点 $M$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，点N在线段AC上，满足 $A_{1} N / /$ 平面 $B C M$ .

(1)、若点M是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，求线段AN的长度；

(2)、若点N是线段AC上靠近A的三等分点，求平面 $A B M$ 与平面 $B M C_{1}$ 所成角的余弦值.

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17. 已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，点 $M (- \frac{2 \sqrt{21}}{3}, 2)$ 在双曲线 $Γ$ 上.

(1)、求双曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、双曲线 $Γ$ 的右顶点为A，过点 $(- 4, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 交于 $B, C$ 两点 $(B, C$ 不在x轴上）.若直线AB和AC分别与直线 $x = 4$ 交于 $P, Q$ 两点，证明：以 $P Q$ 为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a \ln x, a \in (0, 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：方程 $f (x) = f (a)$ 有两个根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ；

(3)、在（2）的条件下，证明： $2 - \sqrt{a} < x_{2} < 2 - a$ .

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19. 某工厂为监控生产线上的产品质量，设置了 $n$ （ $n \geq 2$ ）个等间隔的质量检测时间点，编号从 $1$ 到 $n$ ，相邻时间点间隔为 $1$ 小时.每天质量监控部门会从这 $n$ 个时间点中随机选取若干个时间点（至少选取一个）去进行产品抽检，选取的抽检时间点中最小编号为 $X$ （最早抽检时间），最大编号为 $Y$ （最晚抽检时间）. $Y - X$ 称为抽检时间跨度，是抽检方案设计中的关键参数，它反映了抽检在时间轴上的覆盖范围.

(1)、当 $n = 3$ 时，求 $E (X)$ ；

(2)、求 $P (X \leq 2)$ 和 $P (Y \geq n - 1)$ ；

(3)、求 $E (X) + E (Y)$ 的表达式.

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