浙江省舟山市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

试卷更新日期：2026-01-23 类型：期末考试

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一、选择题(本题有10小题，每教数匠题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)

1. “一个仅装有红球的不透明布袋 $($ 只有颜色不同 $)$ 中摸出一个白球”这一事件是（）

A、不可能事件 B、不确定事件 C、必然事件 D、随机事件

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2. 已知⊙O 的半径是5，点P在圆外，则线段OP 的长可能是( )

A、2. B、4. C、5. D、7.

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3. 抛物线. $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ 的顶点坐标是( )

A、(2， 3). B、(-2， 3). C、(-2， - 3). D、(2， - 3).

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4. 如图，弦AB， CD都是⊙O的直径，若∠AOC=28°，则∠C= ( )

A、10°. B、14°. C、18°. D、28°.

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5. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a b < 0, c > 0),$ 则这个函数图象可能是( )

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，点A，B，C，D为正n边形的顶点，点O为正n边形的中心，若∠ADB=20°，则n= ( )

A、七. B、八. C、九. D、十.

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7. 如图，已知△ABC和△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OA： AD=2： 3，则△ABC和△DEF的面积之比是 ( )

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 学习了“两个三角形相似的预备定理”后，在“△ABC中，D. E分别是边AB，AC上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：
①若 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}, D E ∥ B C,$ 则 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{3};$ ②若 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}, \frac{D E}{B C} = \frac{1}{3},$ 则DE∥BC；③若 $D E ∥ B C, \frac{D E}{B C} = \frac{1}{3},$ 则 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3} .$ 其中正确的是( )

A、①②. B、①③. C、②③. D、①②③.

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9. 如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E，以线段CE为边作正方形CEFG，取 BC的中点H，连结DH，下列能说明点G是线段 DC的黄金分割点的条件是( )

A、HC=CE. B、DH=2CE. C、DH=HE. D、 $D H = \sqrt{2} C E .$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点A(1， 4)， B(-2， - 2)，动点C在线段AB上(不与端点重合)，点C绕点A 逆时针旋转90°得到点D，若点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x⟩ 0)$ 的图象上，则k的取值范围是 ( )

A、4<k≤8 B、4<k≤9 C、4<k<7 D、 $4 < k \leq \frac{81}{4}$

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二、填空题(本题有6小题，每题3分，共18分)

11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{4},$ 则 $\frac{b}{a + b}$ 等于.

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12. 在Rt△ABC中， ∠C=90°， AB=3， BC=2，则cos∠ABC的值为.

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13. 已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形的弧长为.

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14. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.8
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率(精确到0.01)大约是.

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15. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，当y<3时，则x的取值范围是.

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16. 如图，在矩形ABCD中，点P是边 BC上一动点，连结DP，作 $A H ⟂ D P$ 于点H，作BE⊥AH于点E，作CF⊥直线BE于点 F，交DP于点G.
已知： $\frac{A E}{E H} = m, \frac{B F}{F E} = n .$

(1)、若点E， F分别为AH， BE的中点时，记矩形 EFGH的面积为( $S_{1},$ 矩形ABCD的面积为S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为；

(2)、在点 P的运动过程中，若m=2，矩形ABCD 与矩形 EFGH相似，则n的值为.

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三、解答题(本题有8小题, 第17~21题每题8分, 第22、23题每题10分, 第24题12分,共72分)

17. 计算

(1)、 $t a n 4 5^{\circ} - c o s 6 0^{\circ};$

(2)、已知三个数2， $\sqrt{2}$ ， 1，请你再添一个数，使这四个数成比例，并写出比例式.

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18. 如图，AD是△ABC的角平分线，在边AC上取点E，使得 $A D^{2} = A B \cdot A E .$

(1)、求证： △ABD∽△ADE；

(2)、若∠ADB=64°， ∠C=42°，求∠CDE 的度数.

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19. 寒假期间，小夏一家计划到舟山旅游，她利用 Deepseek 制作了一份旅游攻略，其中包含A、B、C、D四个推荐景区.由于时间有限，一家人决定只选择部分景区游玩.为此，小夏将四个景区的名称分别写在四张背面完全相同的卡片上，准备通过随机抽取的方式来确定游览安排.

(1)、小夏父母只打算游玩一个景区，若从4张卡片中随机抽取一张，则抽到“普陀山景区”的概率为；

(2)、小夏自己则想游玩两个景区，她从4张卡片中先随机抽取一张后，不放回，再从剩余的三张中随机抽取-张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽到的景区恰好是“桃花岛景区”和“普陀山景区”的概率.

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20. 掷实心球是中考体育考试项目之一，小王准备投掷实心球(如图1)，实心球行进路线呈抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为1.8m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点，距离地面3.6m.

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、根据舟山市中考体育考试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.2m时，即可得满分5分.判断小王在此次考试中是否得到满分，并说明理由.

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21. 如图1是输水管道的截面示意图，正方形ABCD，正方形EFGH水平放置在地面上，点D，E在⊙O上.已知⊙O的半径为2m，正方形边长均为1.5m，圆心O与地面的距离为3m.

(1)、求 DE 的长度；

(2)、如图2，输水管道内只有阴影部分未被水灌满，其水面宽度PQ为： $2 \sqrt{3} m,$ ，求阴影部分的面积.

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22. 为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离.图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息.信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形ABDEC为轴对称图形，点A 与点B对称，点C与点 D 对称.
信息2：经测量得到AB=2.80m， BD=1.80m， ∠ABD=127°， ∠BDE=90°.

(1)、任务：求文化长廊最大宽度CD 的长；

(2)、任务：计算文化长廊最高点 E 到地面的距离.
(参考数据： $s i n 3 7^{\circ} \approx 0.60, c o s 3 7^{\circ} \approx 0.80, t a n 3 7^{\circ} \approx 0.75,$ ，结果精确到0.01m)

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23. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象经过点A(4， 0).

(1)、求该抛物线的对称轴；

(2)、若二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的最大值为 $6 - 2 a^{2} .$
①求该二次函数的表达式；
②若 $M (x_{1}, p), N (x_{2}, q)$ 为该二次函数图象上不同的两点，p≠0且 $\frac{x_{1}^{2}}{p} - \frac{x_{2} - 4}{x_{1} - 4} = 0,$ 求证：p=q.

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24. 如图1， AB为⊙O 的直径，弦PQ⊥AB ( $\overset{⌢}{B P} ≻ \overset{⌢}{A P}$ )连结AP， AQ，弦AP绕点A 逆时针旋转 $α \circ (0 < α \leq 90)$ 得到线段AC，连结CQ交AB于点D.

(1)、如图2，若α=90，
①求∠ADC的度数；
②记CQ交⊙O于点 E，连结EP.求证： EC=EP；

(2)、在(1)的条件下，探究线段CD，AD，QD 三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)、设 $s i n \frac{α}{2} = x, \frac{C D - Q D}{A D} = y,$ 请直接写出y关于x的函数关系式.

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试验次数	100	300	500	1000	1600	2000
“有2个人同月过生日”的次数	80	229	392	779	1251	1562
“有2个人同月过生日”的频率	0.8	0.763	0.784	0.779	0.782	0.781