湘教版数学八年级下册 1.7 正方形同步分层练习

试卷更新日期：2026-01-22 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 矩形、正方形、菱形都具有的性质是（　　）

A、对角线互相垂直 B、对角线互相平分 C、对角线长度相等 D、一组对角线平分一组对角

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2. 下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（）

A、①②④ B、①③④ C、①② D、②③

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3. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的内部，且 $△ A B E$ 是等边三角形，连接 $B D$ ， $D E$ ，则 $∠ B D E =$ （）

A、 $37.5 °$ B、 $35 °$ C、 $30 °$ D、 $25 °$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4 cm$ ，过线段 $A C$ 上的两点分别作 $B C$ 和 $C D$ 的垂线，则阴影部分的面积为（） ${cm}^{2}$ ．

A、 $4$ B、 $8$ C、 $12$ D、 $16$

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5. 下列条件可以利用定义说明平行四边形 $A B C D$ 是正方形的是（）

A、 $A B = C D ， ∠ A = 90^{°}$ B、 $A B = A D ， ∠ A = 90^{°}$ C、 $A B / / C D ， ∠ A = 90^{°}$ D、以上均错

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6. 正方形是轴对称图形，它的对称轴有（）

A、2条 B、3条 C、4条 D、5条

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7. “正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成，该逆命题是命题（填写“真”或“假”）．

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8. 将对角线分别为 $5cm$ 和 $8 cm$ 的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 $cm$ ．

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 的外侧，作等边 $△ A D E$ ，则 $∠ A E B =$ ．

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10. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的一点， $P E ⊥ A D$ 于点 $E$ ， $P E = 3$ ．则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为．

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 的中点， $F$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $C E$ 、 $D F$ ．求证： $C E = D F$ ．

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二、能力提升

12. 在▱ABCD中，有以下四个条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC⊥BD；④AC=BD.现从中任选两个条件作为一个组合，其中不能推出四边形ABCD是正方形的是 ( )

A、①② B、①④ C、②④ D、③④

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13. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）

A、20cm B、30cm C、40cm D、20 $\sqrt{2}$ cm

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点E，连接 $A E ， B E ， C E$ ．过点B作 $B P ⊥ B E$ 交 $A E$ 于点P．若 $B E = B P = \sqrt{2}$ ， $P C = \sqrt{6}$ ，下列结论：
① $△ A B P ≌ △ B C E$ ；②点C到直线 $B E$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ；③P是 $A E$ 的中点；④ $S_{△ B C P} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15. 如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 上一点，点 $F$ 是 $C D$ 延长线上一点，连接 $A E$ ， $A F$ ， $A M$ 平分 $∠ E A F$ ．交 $C D$ 于点 $M$ ．若 $B E = D F = 1$ ，则 $D M$ 的长度为（　　）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{12}{5}$

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16. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE ，其中正确结论有（）个．

A、2 B、3 C、4 D、5

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 的点 $B 、 C 、 E$ 在同一条直线上，点 $M$ 为 $A F$ 的中点，连接 $D M 、 C M 、 C F$ ，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段 $D M$ 的长（）

A、 $C F$ B、 $C M$ C、 $D G$ D、 $A F$

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18. 如图，将三张大小相同的透明正方形纸片的一个顶点重合放置，那么 $∠ 1$ 的度数为．

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19. 如图，已知正方形 $A B C D$ 中， $B E = 2 C E$ ， $E A = E F$ ， $E A$ 垂直于 $E F$ ，已知 $B F = \sqrt{3}$ ，则 $F C =$ ．

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20. 如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 $A B C D$ 的方法证明了勾股定理，连结 $C E$ ，若正方形 $A B C D$ 的面积为29， $B E = 5$ ，则 $C E$ 的长为．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B = B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，点E是边 $C D$ 的延长线上的动点．连接 $A E$ ．过点C作 $C F ⊥ A E$ 于点F．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、当点F是 $A E$ 的中点，且 $C E = 8 \sqrt{2}$ 时，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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22. 如图所示，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 在 $B D$ 上，且 $B F = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、判断四边形 $A F C E$ 的形状并说明理由．

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三、拓展创新

23. 【综合实践】
素材两个边长不等的正方形卡纸
把两个边长不等的正方形卡纸 $A B C D$ 与 $B E F G$ 如图1所示摆放（点A、B、E在同一条直线上， $A B > E F$ ），点H是边 $A B$ 上一点，连接 $D H$ ， $H F$ ，沿 $D H$ ， $H F$ 裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案．

(1)、若 $S_{正方形 A B C D} = 7 {cm}^{2}$ ， $S_{正方形 B E F G} = 3 {cm}^{2}$ ，则 $S_{图 2 正方形} =$ ________ ${cm}^{2}$ ；

(2)、试根据题意判断 $△ A D H$ 与 $△ E H F$ 是否全等？并说明理由．

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，点E为线段 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点E作 $E F ⊥ D E$ ，交射线 $B C$ 于点F，以 $D E 、 E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、求证： $E D = E F$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $C E = \sqrt{2}$ ，求 $C G$ 的长度；

(3)、当线段 $D E$ 与正方形 $A B C D$ 的某条边的夹角是 $30 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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湘教版数学八年级下册 1.7 正方形 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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