湘教版数学八年级下册 1.2.1 平行四边形的性质第二课时同步分层练习

试卷更新日期：2026-01-21 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 平行四边形具有的性质是（）

A、四边相等 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、四个角都是直角

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2. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A O = B O$ B、 $A B = A D$ C、 $∠ D A C = ∠ B C A$ D、 $∠ A D C = ∠ B C D$

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3. 阅读材料：物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则，即 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力 $F$ ，如图．
解决问题：设两个共点的合力为 $F$ ，现保持两力的夹角 $θ (0 ° < θ < 90 °)$ 不变，使得其中一个力增大，则（）

A、合力 $F$ 一定增大 B、合力 $F$ 的大小可能不变 C、合力 $F$ 可能增大，也可能减小 D、合力 $F$ 一定减小

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列结论正确的是（　　）

A、 $△ A O B ≌ △ A O D$ B、 $B D = 2 A O$ C、 $△ A O B$ 与 $△ A O D$ 的周长相等 D、 $A O = C O$

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5. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B C = 10$ ， $A C = 8$ ， $B D = 14$ ，则 $△ B O C$ 的周长是（）

A、10 B、16 C、18 D、21

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6. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD相交于点O．若 $∠ A D B = 90 °$ ， $B D = 6$ ， $A D = 4$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A C = 6$ ， $B D = 10$ ， $C D = 4$ ，则 $∠ B A C =$ 度．

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8. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线相交于点O， $B C = 7 c m$ ， $B D = 10 c m$ ， $A C = 6 c m$ ，则 $△ A O D$ 的周长为cm．

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9. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ､ B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线分别交 $A D ､ B C$ 于点 $E ､ F$ ，若平行四边形 $A B C D$ 的面积为6，则图中阴影部分的面积是．

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10. 如图平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 O， $A C = 14, B D = 8, B C = 10$ ．求 $△ B O C$ 的周长．

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11. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．

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二、能力提升

12. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $D$ ，且 $A C + B D = 20$ ， $A B = 8$ ，则 $△ C O D$ 的周长为（）

A、28 B、18 C、14 D、24

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13. 平行四边形的两条对角线分别为 $6$ 和 $10$ ，则其中一条边长 $m$ 的取值范围为（）

A、 $0 < m < 10$ B、 $0 < m < 6$ C、 $4 < m < 6$ D、 $2 < m < 8$

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 8 cm$ ， $A D = 10 cm$ ， $△ A O D$ 与 $△ A O B$ 的周长差为（　　） $cm$ ．

A、4 B、3 C、2 D、1

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15. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O， $A B ⊥ A C$ ，若 $A B = 4 ， ∠ A C B = 30 °$ ，则 $B D$ 的长是（　　）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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16. 有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )

A、①②④ B、①②③ C、①③④ D、①②③④

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17. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ 的周长是12，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $△ A O D$ 的周长比 $△ A O B$ 的周长多1，则 $A B$ 的长为.

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B ⊥ A C$ ，点E是 $A D$ 中点，作 $E F ⊥ B D$ 于点F，已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，则 $E F$ 的长为．

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19. 如图，▱ABCD的周长是 $24cm$ ，对角线相交于点O，且 $E O ⊥ B D$ ，则 $△ A B E$ 的周长为．

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20. 我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为 $2 \sqrt{2}$ 和4，那么它的较长的对角线长为．

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21. 如图，E、F是平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上的两点， $A E = C F$ ．求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形．

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22. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于点O，点E、F分别为 $O A 、 O C$ 的中点，连接 $B E 、 D F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、若 $B D = 2 A B$ ，且 $A B = 8, C F = 5$ ，则 $D F$ 的长为．

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E, F$ 分别为 $B O, O D$ 的中点，连结 $A E, C F$ ．

(1)、求证： $A E = C F$ ．

(2)、若 $∠ B A C = 90 °, A B = 3, A E = \frac{\sqrt{13}}{2}$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长．

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三、解答题

24. 一次数学探究活动，小强用两条直线把 $▱ A B C D$ 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．

(1)、在下面的三个平行四边形中分别画出满足小强分割方法的直线．

(2)、从上述分割方法中，你发现所画的两条直线有什么规律吗？

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25. 【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，求证： $A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2})$ ．
小应的证明：作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E, D F ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，由四边形 $A B C D$ 是平行四边形，容易证得 $△ A B E ≌ △ D C F$ （ $A A S$ ），得到 $A E = D F$ ， $B E = C F$ ．设 $B E = C F = a$ ， $C E = b$ ， $A E = D F = h$ ．
在 $Rt △ A C E$ 和 $Rt △ B D F$ 中， $A C^{2} + B D^{2} = h^{2} + b^{2} + {(2 a + b)}^{2} + h^{2} = 4 a^{2} + 4 a b + 2 b^{2} + 2 h^{2}$ ．
在 $Rt △ A B E$ 中， $A B^{2} = a^{2} + h^{2}$ ．
$∴ A B^{2} + B C^{2} = \dots \dots$
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $B D = 8$ ，求 $O A$ 的长；
【拓展提升】（3）如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 是斜边 $A B$ 的三等分点， $C D = 5$ ， $C E = 2 \sqrt{5}$ ，求 $A B$ 的长．

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一、夯实基础

二、能力提升

三、解答题

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