广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段考试（12月）数学试题

试卷更新日期：2025-12-24 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x ∣ x > 1}, B = {x ∣ (x + 1) (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ x > 1}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ x > 2$ 或 $x < - 1}$

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2. 已知椭圆C的焦点在 $x$ 轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点 $P (3, 0)$ ，则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{4 x^{2}}{9} + 4 y^{2} = 1$

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3. 已知直线 $l_{1} : a x + 2 y + a = 0, l_{2} : 3 x + (2 a - 1) y + a + 1 = 0$ ，则“ $a = - \frac{3}{2}$ ”是“ $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图所示，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件 $A =$ “取到标号为1和3的号签”，事件 $B =$ “两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $B$ 独立 C、 $A$ 与 $B$ 对立 D、 $P (B) = \frac{2}{3}$

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6. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 上一点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离为6，若点 $P$ 为抛物线 $C$ 的准线上的动点，则 $P O + P A$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{6}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与双曲线的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点，设 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $|O P| = |P F_{2}| = \frac{\sqrt{2}}{4} |F_{1} F_{2}|$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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8. 一般地，设 $f : D \to D$ 是一个函数， $\forall x \in D$ ，记 $f^{(0)} (x) = x, f^{(1)} (x) = f (x), f^{(2)} (x) = f (f (x)), \dots, f^{(n + 1)} (x) = f (f^{(n)} (x)), n \in N^{\cdot}$ ，称函数 $f^{(n)} (x)$ 为 $f (x)$ 的 $n$ 次迭代，并称 $n$ 为 $f^{(n)} (x)$ 的迭代指数.设 $m$ 为自然数， $f (m)$ 为 $m^{2} + 1$ （十进制）的各数位上数字之和，则 $f^{(150)} (2025) =$ （）

A、19 B、11 C、8 D、5

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 为使 $x^{2} + y^{2} + 4 x \cos θ + 8 y \sin θ + 10 = 0$ 成为一个圆的方程， $θ$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10. 已知向量 $\vec{m} = (\cos α, - \sin α), \vec{n} = (\cos β, \sin β)$ ，则（）

A、若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $α + β = 2 k π (k \in Z)$ B、 ${\vec{m}}^{2} + {\vec{n}}^{2} = 2$ C、 $\vec{m} \cdot \vec{n} = \cos (α + β)$ D、 $|\vec{m} + \vec{n}| \leq 2$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M, N, P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}, B C$ 的中点， $Q$ 为平面 $P M N$ 上的动点，且直线 $Q B_{1}$ 与直线 $D B_{1}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，则（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $P M N$ B、平面 $P M N$ 截正方体所得的截面图形为正六边形 C、点 $Q$ 的轨迹长度为 $π$ D、能放入由平面 $P M N$ 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{u} = (3, a, b) (a, b \in R)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n} = (1, 2, 3)$ 是平面 $α$ 的法向量，如果 $l ⊥ α$ ，则 $a + b =$ ．

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13. 如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为m.

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14. 已知点 $P$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左支上一点 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的左、右两个焦点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}, P F_{2}$ 与两条渐近线相交于 $M, N$ 两点（如图），点 $N$ 恰好平分线段 $P F_{2}$ ，则双曲线的离心率是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；

(2)、若落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是57，方差是2，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数 $z$ 和总方差 $s^{2}$ .
参考公式： $s^{2} = \frac{n}{n + m} [s_{x}^{2} + {(\bar{z} - \bar{x})}^{2}] + \frac{m}{n + m} [s_{y}^{2} + {(\bar{z} - \bar{y})}^{2}]$ 其中 $\bar{z}$ 为总样本平均数.

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16. 已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点 $Q$ 为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ .

(1)、求出以 $P Q$ 为直径，点 $Q^{'}$ 为圆心的圆的方程；

(2)、设圆 $Q$ 与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 是圆 $Q$ 的切线吗?为什么?

(3)、求直线 $A B$ 的方程.

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17. 已知 $△ A B C$ 的面积记为 $S$ .请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
① $2 a = c + 2 b cos C$ ；② $\sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{B C} + 2 S = 0$ ；③ $(a + b + c) (a - b + c) = 3 a c$
$△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________.

(1)、若 $b = 7$ ， $c = 5$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、取线段 $P A$ 中点M，连接 $B M$ ，证明： $B M //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点E，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ， $C$ 的一条渐近线与直线 $l$ ： $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 垂直.

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、点 $M$ 为 $C$ 上一动点，直线 $M F_{1}$ ， $M F_{2}$ 分别交 $C$ 于不同的两点 $A$ ， $B$ （均异于点 $M$ ），且 $\vec{M F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}$ ， $\vec{M F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ，问： $λ + μ$ 是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.

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