浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

试卷更新日期：2025-12-31 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知直线l过点 $(1, 0)$ ，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（）

A、1 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. “ $2 < m < 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4 - m} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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3. 已知平面 $α$ 经过点 $A (1, 1, - 1)$ ，且平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2, 1, 0)$ ，则点 $B (2, 0, 0)$ 到平面的距离为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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4. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{10} = 10$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、33 B、44 C、55 D、66

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5. 在正三棱锥 $O - A B C$ 中，棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直， $D, E$ 分别是棱 $B C$ 和 $O B$ 的中点，且 $\vec{O F} = \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则异面直线 $E F$ 与 $A D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{78}}{78}$ B、 $\frac{3 \sqrt{78}}{78}$ C、 $\frac{\sqrt{78}}{39}$ D、 $\frac{2 \sqrt{78}}{39}$

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6. 已知F为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点， $T (9, 0)$ ， A为抛物线在第一象限上的点，且满足 $A F ⊥ A T$ ，则点A的横坐标为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n}^{2} = a_{n + 1}$ ，则 $\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \dots + \log_{2} a_{10} =$ （）

A、1002 B、1023 C、1024 D、1005

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8. 已知A，B是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上的两点， $F_{1}$ 是双曲线的左焦点，满足 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ ， $| F_{1} A | = 3 | F_{1} B |$ ， $S_{△ F_{1} O A} = \frac{\sqrt{3}}{6} b^{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分.）

9. 点P在圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 16$ 上，点Q在圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 上，则（）

A、两圆的位置关系为外切 B、 $| P Q |$ 的最大值为12 C、两圆公切线段长为 $2 \sqrt{6}$ D、两圆相交弦所在直线的方程为 $3 x + 4 y - 16 = 0$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, A B = A D = 4$ ， $E, F$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}, A D$ ，上的动点（含端点），且 $E F = 2 \sqrt{3}$ ， $G$ 为棱 $B C$ 的中点，则（）

A、若 $F$ 是棱 $A D$ 的中点，则 $E F / /$ 平面 $B B_{1} D$ B、若 $E$ 是棱 $A 1 B_{1}$ 的中点，直线 $E G ⊥$ 平面 $B B_{1} D$ C、线段 $A F$ 长度的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、若 $P$ 为线段 $E F$ 的中点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为 $24 - 2 \sqrt{10}$

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11. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， …， $P_{n}$ ，（ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ）， $P_{1}$ 是右顶点， $P_{n}$ 是左顶点，使得 $| P_{1} F_{2} |$ ， $| P_{2} F_{2} |$ ， …， $| P_{n} F_{2} |$ 成为公差是 $d (d > 0)$ 的等差数列，则下列说法正确的是（）

A、 $△ P_{i} F_{1} F_{2} (i = 2, \dots, n - 1)$ 的周长为16 B、当 $d > 0.4$ 时，n的最大值为14 C、当 $n = 13$ 时， $\frac{1}{| P_{1} F_{2} | \cdot | P_{2} F_{2} |} + \frac{1}{| P_{2} F_{2} | \cdot | P_{3} F_{2} |} + \dots + \frac{1}{| P_{12} F_{2} | \cdot | P_{13} F_{2} |} = \frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{| P_{2} F_{2} |} + \frac{9}{| P_{n - 1} F_{2} |}$ 的最小值为 $\frac{8}{5}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 2$ ，则 $S_{20} =$ .

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13. 若圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 16$ 与直线 $l : 3 x - 4 y - 8 = 0$ 交于A，B两点，则 $∠ A C B =$ .

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14. 点 $P$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，过焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，交抛物线的准线于点 $K$ ，若 $F$ 为 $A K$ 的中点， $| A F | = 8$ ， $M (4, - 2)$ ，点 $Q$ 在以 $M F$ 为直径的圆上，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 已知圆C过曲线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与坐标轴的交点.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若过点 $P (2, 2)$ 的直线l与圆C相切，求直线l的方程.

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16. 已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线方程为 $y = - 1$ ，焦点为F， $P (x_{0}, 9)$ 是抛物线上的一点，O为坐标原点.

(1)、求抛物线C的方程及 $x_{0}$ ；

(2)、已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点 $M (4, 7)$ 恰为 $△ O A B$ 的重心，求直线l的斜率k.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot 3^{n + 1} - \frac{3}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n} b_{n}}{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $D - A B C E$ 中，F为棱 $B D$ 上一动点（不包含端点）， $C E / / A B$ ， $∠ E A B = ∠ D A E = 60 °$ ， $A E = A D = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B D = 1$ .

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若F是靠近点D的四等分点，求直线 $A F$ 与平面 $B E D$ 所成角的正弦值；

(3)、若O是三棱锥 $D - A B E$ 外接球的球心，求 $| O F |$ 的最小值.

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19. 已知椭圆 $Γ : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右顶点分别为C和D，O为原点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点 $T (4, 0)$ 的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点.
（ⅰ）求 $△ A O B$ 面积的最大值；
（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上.

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