广东省衡水金卷2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

试卷更新日期：2025-12-30 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知命题 $p : \forall x > 0, e^{x} > 3$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0, e^{x} \leq 3$ B、 $\forall x \leq 0, e^{x} \leq 3$ C、 $\exists x > 0, e^{x} \leq 3$ D、 $\exists x \leq 0, e^{x} \leq 3$

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2. 已知集合 $A = \{x ∣ y = {log}_{2} (x + 1)\}, B = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $\emptyset$

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3. 在 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2}, 3^{- \frac{1}{3}}, {(\frac{1}{3})}^{- 1}, {(- 3)}^{- 1}$ 中，最大的数是（）

A、 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ B、 $3^{- \frac{1}{3}}$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{- 1}$ D、 ${(- 3)}^{- 1}$

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4. 下列命题为真命题的是（）

A、“ $8^{a} > 8^{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 B、“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $a > b$ ”的必要不充分条件 C、“ $a > b$ ”是“ ${(\frac{1}{3})}^{a} > {(\frac{1}{3})}^{b}$ 成立”的充分不必要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $ln a > ln b$ 成立”的必要不充分条件

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5. 已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，则 $a^{3} + a^{- 3} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、6

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6. 已知函数 $f (x) = 5^{x} + 5 x, g (x) = {log}_{5} x + 5 x, h (x) = x^{3} + 5 x$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则 $a, b, c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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7. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + 2 b = 3$ ，若不等式 $\frac{2}{a} + \frac{4}{b} \geq m^{2} - 5 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 6, 1]$ B、 $[- 6, 3]$ C、 $[- 1, 6]$ D、 $[- 1, 8]$

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8. 若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (7 - a) x + 2, x \leq 0 \\ {(a - 4)}^{x - a + 1} + 2, 0 < x \leq a \\ {log}_{(a - 3)} (x - a + 1) + 4, x > a \end{array}$ 单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, 6]$ C、 $(5, 7)$ D、 $(5, 7]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
$x$
-2
-1
0
1
2
3
$y$
16.1
-0.01
-4.92
-5.5
2.4
-3.2
则函数 $y = f (x)$ 一定有零点的区间为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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10. 与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称的函数为（）

A、 $y = {log}_{4} x^{2}$ B、 $y = {log}_{8} x^{3}$ C、 $y = \frac{lg x}{lg 2}$ D、 $y = {log}_{2} x^{\frac{1}{3}} + {log}_{2} x^{\frac{2}{3}}$

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11. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (4 + x) = - f (x)$ ，且 $y = f (4 - x)$ 为偶函数，在区间 $(0, 2)$ 上，对 $\forall x_{1} \neq x_{2}$ 有 $(f (x_{1}) - f (x_{2})) (x_{1} - x_{2}) < 0$ ，则下列说法中正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(2, 0)$ 成中心对称 B、当 $x \in (- 2, 2)$ 时， $f (x) > 0$ C、在区间 $(12, 16)$ 上， $f (x)$ 为减函数 D、 $f (7) < f (1)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设 $f (x) = \frac{1 - x^{4}}{1 + x^{4}}$ ，则 $\forall x \in R$ ，且 $x \neq 0, f (- x) + f (\frac{1}{x}) =$ .

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13. 已知 ${log}_{a} 3 > 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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14. 已知二次函数 $f (x) = k x^{2} - 2 x + 3$ 在 $[2, 3]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = {x ∣ 1 < 2 x - 1 < 9}$ ，集合 $B = \{x ∣ x^{2} - 16 > 0\}$ ，集合 $C = \{x |\frac{x + 6}{x - 3} > 0\}$ .

(1)、求 $A \cap B, B \cup C$ ；

(2)、已知命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，命题 $r : x \in C$ ，若这三个命题中有且仅有一个为真命题，求 $x$ 的取值范围.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $(f (x) + 9) (f (x) - 5) > 0$ ，求 $x$ 的取值集合.

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17. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = \frac{1}{2} {log}_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)、当一条鱼的游速是 $3 m / s$ 时，它的耗氧量是多少个单位？

(2)、现有甲､乙两条鲑鱼均由 $A$ 地向 $B$ 地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？

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18. 某公司生产电子仪器的固定成本为180000元，每生产一台仪器需增加投入200元，通过对该公司今年的生产经营状况的调查，得到总收入 $R$ （单位：元）与月产量 $x$ （单位：台）（受场地及生产规模等的影响，故 $x \leq 1700$ ）的部分数据如下表：
$x$
200
700
1000
$R$
240000
415000
400000

(1)、根据上表中的数据，从 $R = a {log}_{b} x + c (b > 0$ 且 $b \neq 1)$ ， $R = a x^{2} + b x + c$ ， $R = a \cdot b^{x} + c (b > 0$ 且 $b \neq 1$ ）（这里的 $a, b, c$ 都是常数）三个函数模型中选取一个恰当的模型描述 $R$ 与 $x$ 的变化关系，并说明理由；

(2)、利用表中的数据求出（1）中选择的函数模型，并由此模型求：
（i）当月产量为多少时，总收入 $R$ 最大？最大值为多少？
（ii）当月产量为多少时，每件产品的利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收入-总成本）

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19. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - \frac{a}{3^{x}}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数.

(1)、求 $f (- 1)$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、已知 $g (x) = f (x) - 3^{|x|}$ ，若 $\forall x \in [λ - 3, λ - 1]$ ，不等式 $g (4 x - λ) ⩾ {[g (x)]}^{3}$ 成立，且 $\exists λ \in R$ ，使不等式 $f (- λ^{2} + 3 λ - 7) ⩾ f (- 2 λ^{2} + 10 λ - 17)$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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$x$	-2	-1	0	1	2	3
$y$	16.1	-0.01	-4.92	-5.5	2.4	-3.2

$x$	200	700	1000
$R$	240000	415000	400000