华东师大版数学七（下）第6章一次方程组单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-01-16 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

1. 工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 $a$ 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 $a$ 的值可能是（）

A、272 B、265 C、254 D、232

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2. 若 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， … $m_{2016}$ 是从0，1，2这三个数中取值的一列数， $m_{1} + m_{2} + \cdot \cdot \cdot + m_{2016} = 1546$ ， ${(m_{1} - 1)}^{2} + {(m_{2} - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(m_{2016} - 1)}^{2} = 1510$ ，则在 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， … $m_{2016}$ 中，取值为2的个数为（）

A、909 B、506 C、510 D、520

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3. 关于x．y的方程组 $\{\begin{array}{l} a x + b y = c \\ m x + n y = d \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，则方程组 $\{\begin{array}{l} a (x - 1) - 3 b y = 3 c \\ m (x - 1) - 3 n y = 3 d \end{array}$ 的解是（　　）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 2 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 2 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - \frac{2}{3} \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = \frac{2}{3} \end{array}$

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4. 已知关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 3 k - 2 \\ 2 x + y = 4 - k \end{array}$ （ $k$ 为常数），下列结论正确的个数为（）
①无论 $k$ 取何值，都有 $4 x + y = 5$ ；②若 $k = 1$ ，则 $(2 x - 1) y = 1$
③方程组有非负整数解时， $k = 1$ ；④若 $x$ 和 $y$ 互为相反数，则 $k = \frac{7}{3}$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为 $6 ： 7$ ，则大长方形的周长为（　　）

A、29 B、28 C、27 D、26

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6. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（）．

A、32元 B、33元 C、34元 D、35元

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7. 栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 3 y + 5 = x \\ 5 y - 1 = x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 y - 5 = x \\ 5 y = x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} + 5 = y \\ 5 y = x - 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{x - 5}{3} = y \\ \frac{x}{5} = y - 1 \end{array}$

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8. 对于任意实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，定义有序实数对 $(a, b)$ 与 $(c, d)$ 之间的运算“ $Δ$ ”为： $(a, b) Δ (c, d) = (a c + b d, a d + b c)$ ．如果对于任意实数 $u, v$ ，都有 $(u, v) Δ (x, y) = (u, v)$ ，那么 $(x, y)$ 为(　　)

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(0, - 1)$

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9. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 2 k \\ 2 x + y = k + 1 \end{array}$ ，以下结论： $①$ 当 $k = 2$ 时，方程组的解也是方程 $3 x + y = 5$ 的解； $②$ 存在实数 $k$ ，使得 $x + y = 0$ ； $③$ 不论 $k$ 取什么实数， $3 x + 4 y$ 的值始终不变； $④$ 若 $2 x + 3 y = 3$ ，则 $k = 8 .$ 其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①④

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10. 对x、у定义一种新运算T，规定：T（x，y）=axy+bx-4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）=a×0×1+b×0-4=-4，若T（2，1）=2，T（-1，2）=-8，则下列结论正确的个数为（）
（1） a=1，b=2；（2）若T（m，n）=0，（n≠-2），则m= $\frac{4}{n + 2}$ ；（3）若T（m，n）=0，则m、n有且仅有3组整数解；（4）若T（kx，y）=T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k=1.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

11. 已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n．则n-m的值为.

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12. 已知关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ ，的解为 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ ，则关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} (x + 3) + b_{1} y - 2 b_{1} = c_{1} \\ a_{2} (x + 3) + b_{2} y - 2 b_{2} = c_{2} \end{array}$ 的解为

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13. 已知关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} | x | + x - 2 y = - 2 \\ | y | + y - x = 5 \end{array}$ ，则 $x - 2 y$ 的值为．

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14. 一食堂需要购买盒子存放食物.盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示：
型号
A
B
单个盒子容量 $(L)$
2
3
单价(元)
5
6
现有 $15 L$ 食物需要存放，且要求每个盒子都要装满.若 $A$ 型号盒子正做促销活动，购买三个及以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需的最少费用为元.

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15. 如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于 $x, y, m$ ， n的取值，下列说法：① $x + y$ 的值一定是2；②若 $x = 1$ ，则 $y = 3$ ；③若 $x - y = 0$ ，则 $m = 3$ ；④若 $n = 6$ ，则 $y = 0$ ；正确的是．

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16. 如图，长方形ABCD的边 $B C = 13$ ， E是边BC上的一点，且 $B E = B A = 10$ ， F，G分别是线段AB，CD上的动点，且 $B F = D G$ ，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部.记图中的阴影部分面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时， $S_{1} + S_{2}$ 的值为.

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三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

17. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{cases} \frac{2 x + 3 y}{4} + \frac{2 x - 3 y}{3} = 7 \\ \frac{2 x + 3 y}{3} + \frac{2 x - 3 y}{2} = 8 \end{cases}$

(2)、 ${\begin{cases} | x - y | = x + y - 2 \\ | x + y | = x + 2 \end{cases}$

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18. 某单位食堂重装升级，升级后菜品种变多，已知每个菜单价定为2元或4元或6元或8元或10元，因菜品尚未标价，就餐人员并不知每个菜的具体价格，每次取完餐付过钱，大家通过对比各自餐盘中与他人重复的菜，来计算每种菜的价格.
已知甲、乙、丙三人共同就餐，甲选了A，B，C三种菜共14元，乙选了C，D，E三种菜共16元，丙选了A，C，D三种菜共22元，付款时得知A的价格低于D，请确定A，B，C，D，E的单价.

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19. 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.

(1)、求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？

(2)、已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？

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20. 运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。

(1)、填空：7列2层空心方阵有人，x列2层空心方阵有人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）

(2)、某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。

(3)、某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有人。

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21. 若关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解满足 $x = y$ ，则称此方程组为“等解”方程组。

(1)、关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 3, \\ m x + y = \frac{5}{2} \end{array}$ 为“等解”方程组，求m的值。

(2)、判断关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = c, \\ b x + a y = c \end{array}$ （a，b，c为常数，且 $a \neq - b$ ）是“等解”方程组吗？并说明理由.

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22. 根据以下素材，探索完成任务.

如何合理搭配消费券?

素材一

我市在 2024 年发放了如图所示的南太湖消费券。规定每人可领取一套消费券（共 4 张）：包含 $A$ 型消费券（满 50 减 20 元） 1 张， $B$ 型消费券（满 100 减 30 元 ) 2 张， $C$ 型消费券（满 300 减 100 元） 1 张.

素材二

在此次活动中，小明一家 4 人各领到了一套消费券. 某日小明一家在超市使用消费券共减了 420 元，请完成以下任务。

(1)、若小明一家用了 2 张

A

型消费券， 2 张

C

型消费券，则用了张

B

型消费券，此时实际消费最少为元.

(2)、若小明一家用 8 张

A 、 B 、 C

型的消费券消费，已知

A

型比

B

型的消费券多 1 张，求

A 、 B 、 C

型的消费券各多少张?

(3)、若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额.

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23. 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{4 x + 3 y}{3} + \frac{6 x - y}{8} = 8 \\ \frac{4 x + 3 y}{6} + \frac{6 x - y}{2} = 11 \end{array}$ ．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 $(4 x + 3 y)$ 看成一个整体，把 $(6 x - y)$ 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．

(1)、设 $4 x + 3 y = m$ ， $6 x - y = n$ ，则原方程组可化为，解关于m ， n的方程组，得 ${\begin{array}{l} m = 18 \\ n = 16 \end{array}$ ，所以 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 18 \\ 6 x - y = 16 \end{array}$ ，解方程组，得．

(2)、探索猜想：运用上述方法解下列方程组： ${\begin{array}{l} 3 (2 x + y) - 2 (x - 2 y) = 26 \\ 2 (2 x + y) + 3 (x - 2 y) = 13 \end{array}$ ．

(3)、拓展延伸：已知关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 3 \end{array}$ ，求关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 a_{1} x + 3 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 2 a_{2} x + 3 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解．

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24. 已知关于 $x ， y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x - y = 2 a + 1 ， \\ 2 x + 3 y = 9 a - 8 ， \end{array}$ ，其中 $a$ 是实数．

(1)、若 $x = y$ ，求 $a$ 的值．

(2)、若方程组的解也是方程 $x - 5 y = 3$ 的一个解，求 $(a - 4)^{2023}$ 的值．

(3)、求 $k$ 为何值时，代数式 $x^{2} - k x y + 9 y^{2}$ 的值与 $a$ 的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．

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25. 综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．

杭州市居民生活用电分段及价格一览表

单位：元/千瓦时

用电分档		分时电价
用电分档		高峰电价	低谷电价
第一档	年用电a千瓦时及以下部分	0.568	0.288
第二档	年用电 $(a + 1) - 4800$ 千瓦时部分	b	c
第三档	年用电4801千瓦时及以上部分	0.868	0.588

注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．

老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．

（1）求表格中a的值．

数学思考：

（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．

（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．

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26. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图 $1$ 所示的长方形和正方形纸板 $($ 长方形的宽与正方形的边长相等 $)$ 加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）

(1)、若该厂购进正方形纸板 $1000$ 张，长方形纸板 $2000$ 张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；

(2)、该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板 $80$ 张，长方形纸板 $a$ 张，全部加工成上述两种纸盒，且 $150 < a < 171$ ，试求在这一天加工两种纸盒时， $a$ 的所有可能值．

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型号	A	B
单个盒子容量 $(L)$	2	3
单价(元)	5	6

华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试培优卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

三、解答题：本大题共10个小题，共102分。

华东师大版数学七（下）第6章一次方程组单元测试培优卷