华东师大版数学七（下）第6章一次方程组单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-01-16 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列选项是二元一次方程的是（）

A、 $x - 3 y$ B、 $\frac{x + 1}{2} - y = 1$ C、 $x + y = z - 2$ D、 $x y + y = - 1$

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2. 已知方程组 ${\begin{array}{l} (m + 2) x = 1 \\ 3 x - (m - 3) y^{| m | - 2} + 4 = 0 \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程组，则（）

A、 $m \neq \pm 2$ B、 $m = 3$ C、 $m = - 3$ D、 $m \neq 3$

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3. 若方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c . \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 6 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} 4 a_{1} x + 3 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 4 a_{2} x + 3 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 6 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 6 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 10 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 20 \\ y = 30 \end{array}$

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4. 已知关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 3 x - y = 4 m + 1 \\ x + y = 2 m - 5 \end{matrix}$ 的解满足 $x - y = 4$ ，则m的值为（）

A、－1 B、7 C、1 D、2

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5. 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有 $x$ 个房间，来了 $y$ 位客人，则可以列出的方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 x - 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x - 1) = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x + 7 = y \\ 9 (x + 1) = y \end{array}$

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6. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ 是“关联方程组”，则a的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、-2

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7. 老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8.
利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）

A、73cm B、74cm C、75cm D、76cm

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9. 《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组， ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y + z = 39 ① \\ 2 x + 3 y + z = 34 ② \\ x + 2 y + 3 z = 26 ③ \end{array}$ ，先将方程①中的未知数系数排成数列 $32139$ ，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．
方程①： $32139$
第一步方程②： $23134 \to 693102 ⋯ ⋯ \to 051 a$
第二步方程③： $12326 \to M ⋯ ⋯ \to 0 b 839$
其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为： $369618$ （2） $a ＝ 24$ （3） $b ＝ 4$ 其中正确的有（）

A、（1）（2） B、（2）（3） C、（1）（3） D、（1）（2）（3）

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10. 在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算 $82 \times 34$ ，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）

A、b的值为6 B、a为奇数 C、乘积结果可以表示为 $101 b + 10 (a + 1) - 1$ D、a的值小于3

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

11. （m-3）x+2y^|m-2|+6=0是关于x，y的二元一次方程，则m= ．

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12. $《$ 九章算术 $》$ 中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 $8$ 钱，会多 $3$ 钱：每人出 $7$ 钱，又会差 $4$ 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，那么可列方程组为．

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13. 已知关于 x， y 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = m \\ 4 x + 5 y = n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ ，则关于x， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 (x - 1) + 3 (y + 1) = m \\ 4 (x - 1) + 5 (y + 1) = n \end{array}$ 的解为．

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14. 若关于x、y的方程组 ${\begin{cases} x + 2 y = 5 \\ 2 x + a y = 4 \end{cases}$ 的解都是正整数，则整数 $a$ 有个．

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15. 解三元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y + z = 6 ① \\ x - y = 1 ， ② \\ x + 2 y - z = 5 ③ \end{array}$ 时，最适当的方法是用加减法，先消去，转化成的二元一次方程组是，再解这个二元一次方程组，得到解为，然后将二元一次方程组的解代入 ①或③，可得三元一次方程组的解为 .

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16. 某公园“六·一”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备元钱买门票．

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三、解答题：本大题共8小题，共72分。

17. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x = y + 1 \\ 3 x + 4 y = 10 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 2 \\ 2 x - 6 y = 11 \end{array}$

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18. 关于 $x$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 5 k + 2 \\ x - y = k - 5 \end{array}$ 的解满足 $x = 3$ ， $y = 6$ ，

(1)、求 $k$ 的值．

(2)、化简 $| k + 5 | + | k - 3 |$

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19. 甲和乙两人同解方程组 ${\begin{array}{l} x + a y = 5 ① \\ b x + y = 12 ② \end{array}$ 甲因抄错了 $a$ ，解得 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 2 \end{array}$ ，乙因抄错了 $b$ ，解得 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ ，求 $5 a - 2 b$ 的值．

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20. 已知某超市在售某品牌的牛奶和咖啡，以下是甲，乙两顾客按原价购买的数量和所付的金额：
牛奶（箱）
咖啡（箱）
金额（元）
甲
2
1
110
乙
5
4
350

(1)、求牛奶与咖啡每箱的原价；

(2)、五一假期来临，超市搞促销，有以下两种方案可选．
方案一：单次购买该款咖啡一定数量会有优惠，具体如下表：
单次购买数量（箱）
不超过20箱
20箱以上但不超过40箱
40箱以上
价格（元/箱）
不打折
打9.6折
打9折
方案二：购买临近保质期的牛奶或咖啡打六折．两种方案不能同时享受．
①某单位选择了方案一，分两次购买了该款咖啡共50箱，共付款2430元，且第二次购买量大于第一次购买量，求第二次购买的数量；
②某公司选择了方案二，根据需要购买了原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1300元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的 $\frac{1}{4}$ ，则此次按原价采购的咖啡有箱．（直接写出答案）

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21. 先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶
二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的解的情况有以下三种：当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ 时，方程组有无数个解；当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ 时，方程组无解；当 $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ 时，方程组有唯一解．

(1)、判断二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 2 \\ 2 x + 2 y = 4 \end{matrix}$ 的解的情况：___________；判断二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 1 \\ 4 x - 2 y = 3 \end{matrix}$ 的解的情况：___________．

(2)、小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“ $10 = 8$ ”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下．
解方程组： $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 5 ① \\ 4 x + 2 y = 8 ② \end{array}$
解：由①得 $y = 5 - 2 x$ ，代入②得 $4 x + 2 (5 - 2 x) = 8$ ，得 $10 = 8$

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22. 阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 可以写成矩阵 $(\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{array})$ 的形式．例如： ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 \\ 5 x - 6 y = 33 \end{array}$ 可以写成矩阵 $(\begin{array}{l} 3 & 4 & 16 \\ 5 & - 6 & 33 \end{array})$ 的形式．
根据以上信息解决下列问题：

(1)、请求出矩阵 $(\begin{array}{l} 4 & 1 & 5 \\ 3 & - 2 & 3 \end{array})$ 对应的方程组的解；

(2)、若矩阵 $(\begin{array}{l} a & - 2 & 3 & 7 \\ 1 & b & 4 & 5 \\ 2 & - 1 & c & 8 \end{array})$ 所对应的方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{array}$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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23. 阅读理解：对于任意一个三位数正整数m（各个数位上的数字互不相同且都不为零），将m三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的数，把这6个数的和与111的商记为m的星河数T（m）．例如m＝234，可以得到243、324、342、423、432这5个不同的数，这6个数的和为234+243+324+342+423+432＝1998，因为1998÷111＝18，所以234的星河数T（234）＝18．

(1)、计算T（169）的值；

(2)、若p和q都是各个数位上的数字互不相同且都不为零的三位正整数，p的十位和个位上的数字分别是6和3，3和7分别是q的百位和个位上的数字，且p的百位上的数字比q的十位上的数字大3．若15T（p）+17T（q）＝828，求p和q的值．

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24. 根据以下素材，探索解决任务。

确定10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量
素材1	小明与小聪为了测量10元纸币、1元硬币和5角硬币的质量，准备了足够多的10元纸币，1元硬币和5角硬币（设同种类每张纸币的质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同），实验器材有：一架天平和一个10克的砝码。
素材2	小明：天平左边放5枚1元硬币和1个10克的砝码，天平右边放10枚5角硬币，天平正好平衡。小聪：天平左边放15枚1元硬币，天平右边放20枚5角硬币和1个10克的砝码，天平正好平衡。
素材3	小明与小聪共同探究发现：天平左边放80张10元纸币和1个10克的砝码，天平右边放7枚1元硬币和10枚5角硬币，天平正好平衡。提出问题：天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，天平也能正好平衡。
问题解决
任务1	确定硬币的质量	每枚1元硬币和每枚5角硬币的质量是多少克？
任务2	确定纸币的质量	每张10元纸币的质量是多少克？
任务3	问题解决的策略	天平左边放入60张10元纸币，天平右边只放入若干枚1元和5角的两种硬币，求天平右边有几种放法使天平正好平衡？直接写出天平右边硬币总数最少时面值总和是多少元？

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	牛奶（箱）	咖啡（箱）	金额（元）
甲	2	1	110
乙	5	4	350

单次购买数量（箱）	不超过20箱	20箱以上但不超过40箱	40箱以上
价格（元/箱）	不打折	打9.6折	打9折

华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试培优卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

三、解答题：本大题共8小题，共72分。

华东师大版数学七（下）第6章一次方程组单元测试培优卷