贵州省贵阳市七校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

试卷更新日期：2025-12-27 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 2)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 3, 2)$ ，则 $3 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 6, 1, 2)$ B、 $(- 7, 0, 2)$ C、 $(- 7, 0, - 4)$ D、 $(- 7, 0, 4)$

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2. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点 $P$ ，其横坐标为2，则该点到焦点 $F$ 的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. “ $a = 2$ ”是“直线 $a x + y - 2 = 0$ 与直线 $(a - 1) x - 2 y - 3 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为棱BC上靠近 $B$ 的三等分点， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ 为（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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5. 如图，在等腰梯形ABCD中， $A B / / C D, A D = B C, A B = 4, C D = 2, A B$ 与CD之间的距离为3，O为AB的中点，则等腰梯形ABCD的外接圆的标准方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ B、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = \sqrt{5}$ C、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = \sqrt{5}$

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6. 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上有一点 $P$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3 π}{4}$ C、满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ 的 $P$ 点有且只有4个 D、如果线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，此时 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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7. 如图，在四面体ABCD中， $∠ C A D = ∠ B A D = 60^{°}, \cos ∠ C A B = \frac{2}{3}$ ，且 $A B = A C = A D$ ，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，则直线CE与AD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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8. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点，过原点的直线交椭圆于P，Q两点.若 $|P Q| = |F_{1} F_{2}|, |F_{1} P| = 2 |F_{1} Q|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知直线 $l : m x - y + 2 + m = 0 (m \in R)$ 和圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，则下列说法正确的有（）

A、直线 $l$ 过定点 $(- 1, 2)$ B、直线 $l$ 一定与圆 $O$ 相交 C、直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的最短弦长为4 D、圆 $O$ 与圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 有3条公切线

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10. 如图，在底面为直角梯形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ⊥ A D, B C / / A D$ ， $A B = B C = A A_{1} = 1, A D = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} (0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$ ， $0 \leq z \leq 2$ ），则下列结论正确的是（）

A、当 $x = y = 1, z = 2$ 时，点 $P$ 到直线AC的距离为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、当 $x = 1, y = 0, z = 0$ 时，直线AP与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、若 $x = 1$ ，则点 $P$ 在平面 $C B B_{1} C_{1}$ 内 D、若 $x = 2 y$ ，则点 $P$ 在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 内

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11. 已知过点 $Q (1, 2)$ 的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $x$ 轴的交点为 $D$ ，过焦点 $F$ 作两条相互垂直的直线分别交 $C$ 于A，B和M，N四点，则下列说法正确的是（）

A、若直线AB的斜率为1，则 $| A B | = 8$ B、若点 $E (3, 2)$ 平分弦AB，则直线AB的方程为 $x - y + 1 = 0$ C、 $| A B | + 2 | M N |$ 的最小值为 $12 + 8 \sqrt{2}$ D、若 $D B ⊥ A B$ ，则 $| A F | - | B F | = 4$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，其右焦点坐标为 $(2, 0)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为.

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13. 已知 $P$ 为直线 $l : 3 x - 4 y + 9 = 0$ 上一点，过 $P$ 作圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，则最短切线长为．

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14. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上有一动点 $P$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，过 $P$ 作圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点分别为A，B两点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知直线 $l$ 过点 $A (- 1, 0)$ 且倾斜角为 $45 °$ ，圆 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ .

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、已知直线 $m$ 与直线 $l$ 平行，且与圆 $C$ 相交所得弦长为2，求直线 $m$ 的方程.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P A ⊥$ 底面ABCD，底面ABCD是矩形，其中 $P A = A D = 4, A B = 2, E$ 是PD的中点.

(1)、求证： $P B / /$ 平面ACE；

(2)、若点 $Q$ 为PB的中点，求点 $Q$ 到平面ACE的距离.

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17. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，焦距为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (2, 0)$ 且倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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18. 如图甲所示，已知在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2 \sqrt{3}$ ，且 $E$ 为BC的中点，将图甲中 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折起，使得 $A B ⊥ D E$ ，如图乙.

(1)、求证：平面 $A B E ⊥$ 平面AECD；

(2)、若点 $F$ 为线段 $B D$ 的中点，求平面 $A B E$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $F$ 是线段 $B D$ 上的动点，且满足 $\vec{B F} = λ \vec{B D}$ ，若平面 $A E F$ 与平面AECD的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ 的值.

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19. 如图，在矩形ABCD中， $| A B | = 2 a, | B C | = 2 b (a > b > 0), E, F, G, H$ 分别是矩形四条边的中点，点 $M_{i}, N_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 分别是OF，CF的 $n (n \geq 2)$ 等分点，直线 $E M_{i}$ 和直线 $G N_{i}$ 的交点为 $K_{i}$ .

(1)、若 $a = 2, b = 1, n = 2$ ，求点 $K_{1}$ 的坐标并证明点 $K_{1}$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上；

(2)、证明：点 $K_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ 在同一个椭圆 $W : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上；

(3)、若 $a = 2, b = 1$ .已知 $H (- 2, 0)$ ，过点 $D (- 2, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线交（2）中椭圆 $W$ 于S，T两点，直线 $H S, H T$ 分别交直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 于P，Q两点，若 $| P Q | = 4 \sqrt{10}$ ，求 $k$ 的值.

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