浙江省金华市卓越联盟2025-2026学年高一上学期12月阶段性联考数学试题

试卷更新日期：2026-01-06 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. $- \frac{54 π}{7}$ 是第几象限角（）

A、一 B、二 C、三 D、四

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2. 设集合 $A = \{x |- 2 \leq x < 6\}, B = \{x |x = 2 k, k \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{- 2, 0, 2, 4\}$ C、 $\{0, 2, 4, 6\}$ D、 $\{0, 2, 4\}$

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3. 命题“ $\exists x \in R, a x^{2} + 2 a x + 1 \leq 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 ${a ∣ 0 < a < 1}$ B、 ${a ∣ 0 < a \leq 1}$ C、 ${a ∣ 0 \leq a < 1}$ D、 $\{a ∣ 0 \leq a \leq 1\}$

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4. 已知实数 $x, y$ ，则“ ${(\frac{1}{2})}^{x} - {log}_{2} x > {(\frac{1}{2})}^{y} - {log}_{2} y$ ”是“ $y^{3} > x^{3} > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图，一个扇形纸片的圆心角为 $90 °$ ，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点 $A$ 与点 $O$ 恰好重合，折痕为 $C D$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3} - 4 π$

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6. 已知某种塑料经自然降解后残留量 $y$ 与时间 $x$ （单位：年）之间的关系式为 $y = y_{0} {(0.6)}^{\frac{x}{3}}$ ，其中 $y_{0}$ 为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的 $40 %$ ，则至少需要（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.3, lg 3 \approx 0.48$ ）

A、3年 B、4年 C、5年 D、6年

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 2) x + 3 a, x \leq 2 \\ 2 a^{x - 1}, x > 2 \end{array}, (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{4}{5}]$ B、 $(1, \frac{4}{3}]$ C、 $(0, 1) \cup (1, \frac{4}{3}]$ D、 $(0, \frac{4}{5}] \cup (1, \frac{4}{3}]$

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8. 已知函数 $f (x) = ln (2 x^{2} - 4 x + 3)$ ，记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}), b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}), c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 1) + 2$ 恒过定点 $(1, 2)$ B、函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = {log}_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 C、 $\exists x_{0} \in R$ ，当 $x > x_{0}$ 时，恒有 ${1.1}^{x} < 110 x$ D、若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则 $α < 0$

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10. 函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin x, sin x \geq sin (x - \frac{π}{4}) \\ sin (x - \frac{π}{4}), sin x < sin (x - \frac{π}{4}) \end{array}$ ，下列四个选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 是以 $π$ 为周期的函数 B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{13 π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π], k \in Z$ 上单调递增 D、 $\exists x \in R$ ，使得 $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 有解

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11. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (x - 2) = f (- x)$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2 k) = 0, k \in Z$ B、 $f (\frac{3 + 8 k}{2}) = ln \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, k \in Z$ C、 $\exists x_{0} \in R, f (x_{0} + 2) - f (x_{0}) = 1$ D、方程 $|f (x)| = \frac{1}{4}$ 在 $[- 4, 1]$ 的各根之和为 $m$ ，则 $m > - \frac{15}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ ，则 $g (x) = f (2 x - 1)$ 的定义域为.

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13. 若 $a < 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $- \frac{b}{2 a} - \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x^{2} + x + 3, x < 1 \\ 2 x + \frac{2}{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq |x + a|$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{2}} + {(e - 1)}^{0} + {(0.125)}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $4 {log}_{2} 3 - {log}_{2} \frac{81}{4} - {log}_{8} 27 \cdot {log}_{3} 4 + 3^{1 - {log}_{3} 5}$ .

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16. 已知集合 $M = \{x | {log}_{3} (x^{2} - 1) \leq 1\}$ ， $N = \{x | 2 m + 1 \leq x \leq m\}$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、若 $M \cap N = N$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心 $O$ 距离水面 $m$ 米.以圆心 $O$ 为坐标原点，平行于水面为 $x$ 轴，垂直于水面为 $y$ 轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点 $P$ 从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间.

(1)、当 $m = \frac{1}{4}$ ，点 $P$ 在转动过程中第一次使得 $|P P_{0}| = \sqrt{3}$ 时，记水轮与 $x$ 轴交于点 $A, ∠ A O P = α$ ，求此时 $\cos (α - \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 距离水面的高度 $y$ 米，表示为时间 $t$ 秒的函数，并求点 $P$ 第一次到达最高点所需要的时间.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，函数 $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，其中 $e \approx 2.71828 \dots$ .

(1)、请探究 $g (2 x)$ 与 $f (x), g (x)$ 之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程；

(2)、求函数 $h (x) = 3 g (2 x) + 4 g (x) - 7$ 的零点；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (2 x) + g (2 x) - a f (x) < 1 (a \in R)$ .

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19. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{ln x - 1} + \frac{1}{ln x + a}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，判断 $f (x)$ 在 $(e, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $y = f (x) (x \geq e^{2})$ 的值域；

(3)、若存在 $1 < x_{1} < e < x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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