广西壮族自治区桂林市十二县中学2025-2026学年高三上学期12月教学质量联合测试数学试题

试卷更新日期：2026-01-02 类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z_{1}$ ､ $z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 $z_{1} = 2 + i$ ，则 $i \cdot z_{2} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (λ, 4)$ ， $λ \in R$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、0 B、7 C、 $- 8$ D、1

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3. 2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，将函数 $f (x)$ 图像上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = cos 2 x$ B、 $g (x) = cos (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = - sin 2 x$ D、 $g (x) = cos (2 x - \frac{π}{3})$

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4. 若 ${(\frac{1}{x} - 3 x)}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（）

A、16 B、 $- 16$ C、32 D、 $- 32$

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5. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n^{2} - a n + 1$ ，设命题 $p : a \leq 2$ ，命题 $q$ ：数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{10}{63}$ C、 $\frac{5}{42}$ D、 $\frac{5}{14}$

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7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 是 $C$ 的渐近线上的一点，点 $B$ 在 $y$ 轴上且为线段 $A F_{1}$ 的中点.若 $|A F_{2}| = \sqrt{2} |B F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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8. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = a^{x} (4 - a^{x}) + (m + 4) |a^{x} - 2| - m^{2}$ 存在三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2, 4]$ D、 $(0, 2)$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $x$ ， $y$ 为正实数， $x + y = 2$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为1 B、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{4 y}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$ D、 $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ 的最小值为5

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，左､右顶点分别为 $A$ ､ $B$ 两点，直线 $y = m (0 < m < \sqrt{5})$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ､ $Q$ 两点，则（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为4 B、 $|P F| + |Q F|$ 为定值 C、直线 $A P$ 和 $A Q$ 的斜率的乘积为 $\frac{5}{9}$ D、当以 $P$ ， $Q$ ， $F$ ， $B$ 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 $\frac{5 \sqrt{7}}{3}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b = c - 2 b cos A$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = 2 B$ B、若 $b = 2$ ， $c = 1$ ，则 $B C$ 边上的中线长为 $\sqrt{2}$ C、若 $a = \sqrt{3} b$ ，则 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{c}{b}$ 的取值范围是 $(1, 2)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $sin θ = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ， $cos θ < 0$ ，则 $tan θ =$ .

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13. 已知 $f (x) = \frac{x e^{2 x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ .

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14. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的内切球与圆锥侧面相切的圆的周长为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{3} + a_{7} = 44$ ， $S_{4} = 48$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{3}{8}$ .

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16. 在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题.

(1)、如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；

(2)、如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；

(3)、如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记 $X$ 表示抽到代数题的道数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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17. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ， $F$ 为 $A C$ 的中点， $A_{1} B = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求证： $A_{1} F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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18. 已知 $F (0, 1)$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离比到直线 $l : y = - 2$ 的距离小 $1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $T (0, 2)$ ，过点 $P$ 作 $C$ 的切线 $l_{1}$ ，与直线 $l$ 交于点 $N$ ，直线 $P T$ 与 $l$ 交于点 $M$ ，与抛物线交于另一点 $Q$ ；
（i）设点 $P$ 、 $Q$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ，证明： $\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}}$ 为定值；
（ii）求 $△ T M N$ 面积的最小值.

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19. 双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为 $sin h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数定义为 $cos h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .

(1)、求双曲余弦函数 $cos h (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、令 $f (x) = cos h (x) - cos x$ ，请讨论 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性；

(3)、证明： $2 tan \frac{1}{2} cos h (\frac{1}{2}) + 3 tan \frac{1}{3} cos h (\frac{1}{3}) + \dots + n tan \frac{1}{n} cos h (\frac{1}{n}) > n + \frac{1}{6 n} - \frac{7}{6} (n > 1, n \in N^{*})$ .

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