甘肃省武威第六中学2024-2025学年高一下学期开学质量检测数学试卷

试卷更新日期：2025-03-02 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合 $A = \{x ∣ |x - 3| \leq 3\}, B = \{y ∣ y = 2^{x}, - 2 \leq x \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[\frac{1}{4}, 2]$ B、 $[0, 6]$ C、 $R$ D、 $\emptyset$

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2. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} tanπ x, x < 0, \\ - \frac{\sqrt{x}}{2}, x \geq 0, \end{array}$ 则 $f (f (\frac{16}{9})) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知 $a = {(\frac{3}{2})}^{0.1}, b = {log}_{5} 4, c = cos \frac{7 π}{8}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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4. 把函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = sin (x - \frac{π}{4})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $sin (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})$ B、 $sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $sin (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $sin (2 x + \frac{π}{12})$

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5. 已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{2} + \frac{2}{x^{3}} + 3$ ，若 $f (a) = 5$ ，则 $f (- a) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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6. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - 3 a - 3) x^{a}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则函数 $g (x) = b^{x + a} - 1 (b > 1)$ 的图象过定点（）

A、 $(- 4, 0)$ B、 $(- 4, - 1)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(1, - 1)$

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7. 已知函数 $f (x) = {log}_{3} \frac{x}{3} \cdot {log}_{3} \frac{x}{27}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ），则 $\frac{9}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、3 D、9

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8. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025)$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、0 C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 对于任意实数 $a, b, c, d$ ，有以下四个命题，其中正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a^{2} c > a^{2} b$ ，则 $c > b$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b, c > d$ ，则 $a - d > b - c$

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10. 若角 $α$ 的终边在第四象限，则 $\frac{3 sin \frac{α}{2}}{|sin \frac{α}{2}|} - \frac{2 cos \frac{α}{2}}{|cos \frac{α}{2}|} - \frac{tan \frac{α}{2}}{|tan \frac{α}{2}|}$ 的值可能为（）

A、0 B、4 C、6 D、 $- 4$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |lg x|, x > 0, \\ 3^{x} + 2, x \leq 0, \end{array}$ 若函数 $y = f (\frac{f (x)}{a})$ 所有零点的乘积为1，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- 1$ B、2 C、3 D、4

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = lg (x^{2} + 3 x + a)$ 的值域为 $R$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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13. 已知 $tan α = - \frac{5}{12}$ ，则 $4 sin α cos α - {cos}^{2} α + 1 =$ .

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14. 设 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty), x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{x_{1} f (x_{1}) - x_{2} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，若 $f (3) = 6$ ，则不等式 $f (x) - \frac{18}{x} > 0$ 的解集为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x |3 - a \leq x \leq 3 + a\}, B = \{x |x \leq 2$ 或 $x \geq 5\}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利.根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔 $t$ （单位：分钟）满足 $3 \leq t \leq 12$ ，平均每班地铁的载客人数 $p (t)$ （单位：人）与发车时间间隔 $t$ 近似地满足函数关系 $p (t) = \{\begin{array}{l} 2100 - 15 {(9 - t)}^{2}, 3 \leq t < 9, \\ 2100, 9 \leq t \leq 12. \end{array}$

(1)、若平均每班地铁的载客人数不超过1860人，试求发车时间间隔 $t$ 的取值范围；

(2)、若平均每班地铁每分钟的净收益为 $Q = \frac{6 p (t) - 9720}{t} - 100$ （单位：元），则当发车时间间隔 $t$ 为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.

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17. 已知 $k > 0$ ，函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{1 + k x}{1 - 5 x}$ 是奇函数， $g (x) = 9^{x} - 3^{x + 2}$ .

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0, \frac{1}{6}], \exists x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2}) + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 设函数 $f (x) = \cos^{2} x - 2 a \sin x + a + 3 (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的最大值；

(2)、若不等式 $f (x) > 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若方程 $f (x) = 5$ 在 $(0, 2 π]$ 上有四个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围.

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19. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是单调函数， $f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y \in R)$ ，且 $\forall x < 0, f (x) < 0$ .

(1)、求 $f (0)$ ，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、若存在 $x \in [- 1, 1]$ 使得 $f (16^{x} + 16^{- x}) + f (4^{x} + 4^{- x} + m) < 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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