广东省广州市真光中学汾水校区2025-2026学年高二上学期12月阶段测试数学试卷

试卷更新日期：2025-12-18 类型：月考试卷

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.

1. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 y + 5 = 0$ ，则两圆的位置关系为（）

A、外离 B、相交 C、相切 D、内含

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2. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A (3, 2, 6)$ ， $B (5, 4, 0)$ ， $C (0, 7, 1)$ ，则 $A B$ 边上的中线长为（）

A、 $\sqrt{42}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、7

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3. 如图，在平行六面体中，M为 $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D C} = \vec{b}$ ， $\vec{D D_{1}} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{D M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4. 已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、12 B、10 C、6 D、4

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5. 设直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，且 $\frac{\sqrt{3}}{3} \leq k < 1$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{4}) \cup [\frac{2 π}{3}, π)$ B、 $[0, \frac{π}{4}) \cup (\frac{5 π}{6}, π)$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ D、 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{4})$

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6. 已知 $M$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点，则（）

A、椭圆的焦距为 $2 \sqrt{3}$ B、 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 16$ C、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是 $2 \sqrt{3}$

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7. 在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} = 1$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则该正四棱柱的体积等于（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 双曲线 $C$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $C$ 的实轴为直径的圆记为 $D$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $D$ 的切线与 $C$ 的两支分别交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $\cos ∠ F_{1} N F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{41}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分

9. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ .则以下命题正确的有（　　）

A、直线l恒过定点 $(3, 0)$ B、y轴被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{5}$ C、直线l与圆C恒相交 D、直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 $x + 2 y - 5 = 0$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则（）

A、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2 \sqrt{3}$ B、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、双曲线C的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $|\vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}}| \geq 2 \sqrt{3}$

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11. 如图，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动（ $P$ 点异于 $B$ ， $C_{1}$ 点），则下列结论正确的是（）.

A、异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积不变 D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D_{1} C_{1} B$ 所成角正切值的取值范围为 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 若向量 $\vec{a} = (1, 1, 2), \vec{b} = (2, x, y)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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13. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x ， P Q$ 是过其焦点 $F$ 的一条弦，若 $|P Q| = 6$ ，则直线 $P Q$ 的斜率为

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14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 $P$ 到两个定点的距离之比为常数 $λ$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），那么点 $P$ 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点 $P$ 到 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ 的距离比为 $\sqrt{3}$ ，则点 $P$ 到圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 49 = 0$ 上的点的距离最大值是．

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 7$ ， $S_{3} = - 9$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

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16. 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点 $(0, 1)$ ，长轴长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 且斜率为1的直线l与椭圆C交于 $A, B$ 两点，求弦长 $| A B |$ ；

(3)、若直线l与椭圆相交于 $C, D$ 两点，且弦 $C D$ 的中点为 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，求直线l的方程.

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17. 已知动圆 $M$ 经过点 $P (2, 0)$ ，且与直线 $l : x = - 2$ 相切.
（1）求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程；
（2）已知 $A, B$ 是（1）中的轨迹上的两个动点， $O$ 为坐标原点，且直线 $O A$ 与 $O B$ 的斜率之积为 $- 3$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点，并求出定点的坐标.

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18. 如图，把 $∠ A B C = 60 °$ 的菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，E，F，G，H分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，O是菱形 $A B C D$ 对角线的交点.

(1)、证明：E，F，G，H四点共面；

(2)、若菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折成直二面角，求折纸后异面直线 $A B$ ， $D C$ 所成角的余弦值；

(3)、若菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折到使异面直线 $A B$ ， $D C$ 的所成角为 $\frac{π}{2}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A D C$ 的夹角的余弦值.

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19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A, B$ ，实轴 $|A B| = 2$ ，且左焦点 $F$ 到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 左右两支于 $N, M$ 两点（点 $M$ 位于第一象限），直线 $A M$ 与 $B N$ 相交于点 $T$ .
（i）求证：点 $T$ 在定直线上；
（ii）求证：射线 $F T$ 平分 $∠ M F B$ .

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