四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2025-12-25 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $3 x - 4 y = 1$ 与直线 $6 x - 8 y = 1$ 间的距离是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、1

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 4 x$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0, - 2)$ ，若 $(k \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + k \vec{b}) = 2$ ，则 $k$ 的值为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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5. 已知圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，点 $A$ 是圆 $C$ 上一动点，点 $B (3, 0)$ ， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则动点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ C、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线上，定点 $Q (5, 2)$ ，则 $| P Q | + | P F |$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点 $A (2, 4)$ ，经直线 $x + y = 0$ 反射后经过点 $B (4, 2)$ ，则入射光线所在直线方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y = 0$ C、 $2 x + y = 0$ D、 $2 x - y = 0$

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8. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $∠ F_{1} P O = \frac{π}{6}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列结论正确的是（）

A、椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标是 $(0, \pm 1)$ B、双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ 的顶点坐标是 $(0, \pm 2)$ C、抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的准线方程是 $x = 3$ D、双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的离心率 $e = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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10. 已知圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ ，则（）．

A、圆 $C_{2}$ 的半径为4 B、y轴为圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公切线 C、圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共弦所在的直线方程为 $x + 2 y - 2 = 0$ D、圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 上共有3个点到直线 $2 x - y - 2 = 0$ 的距离为1

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11. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ ，其左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切于点 $P$ ，且 $|P F_{1}| = 4, F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 ${F^{'}}_{1}$ ，过点 $P$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 与椭圆长轴交于点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ B、 $|P M| = 3 \sqrt{3}$ C、点 ${F^{'}}_{1}$ 在以 $F_{2}$ 为圆心，16为半径的圆上 D、 $|F_{1} M| : |F_{2} M| = 1 : 2$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知直线 $y = x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，则 $|M N| =$ .

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13. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左焦点为 $F, A 、 B$ 是 $C$ 上关于原点对称的两点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，则 $△ A B F$ 的周长为．

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14. 已知P是直线l： $3 x + 4 y - 8 = 0$ 上一动点，过点P作圆C： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则 $∠ M P N$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15. 已知直线 $l_{1} : x - y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + y - 8 = 0$ ，设直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为P，点Q的坐标为 $(1, 2)$ ．

(1)、求经过点Q且与直线 $l_{1}$ 平行的直线方程；

(2)、求线段 $P Q$ 的中垂线方程．

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16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ .第2组 $[25, 30)$ .第3组 $[30, 35)$ .第4组 $[35, 40)$ .第5组 $[40, 45]$ .

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为 $P D$ 中点.

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $A E C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x + y = 0$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{6}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，若直线 $l$ 过点 $(0, 2)$ ，与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于A，B两点，且 $△ A O B$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, \frac{3}{2})$ 两点在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上，直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点（ $P, Q$ 均不与 $A$ 点重合），过 $A$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $A P$ ， $A Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，当 $k_{1} + k_{2} = 1$ 时，
①求证：直线 $l$ 恒过定点，并求出定点坐标；
②求 $|O H|$ 的最小值.

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