河北省泊头市文宇中学2026届高三上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2025-12-16 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = \frac{3 + 4 i}{2 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标.将7个厂商的报价整理得到如下数据（单位：元/个）： $6.1, 5.9, 5.9, 6.0, 5.8, 6.1, 6.3$ ，则这组数据的第70百分位数为（）

A、5.8 B、5.9 C、6.0 D、6.1

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，且 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + m \vec{b}$ 共线，则 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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4. 设全集 $U = \{x \in Z |x^{2}$ 是小于9的平方数}，集合 $A = \{x \in Z |\frac{1 + x}{3 - x} \geq 0\}$ ， $B = \{- 2, 1, 2\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0\}$ B、 $\{- 1\}$ C、 $\{- 2, - 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为4的奇函数，当 $2 < x \leq 3$ 时 $f (x) = - \frac{3}{2} x + \frac{7}{2}$ ，则 $f (\frac{27}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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6. 在 $(3 + \frac{x}{y}) {(x - y)}^{6}$ 的展开式中， $x^{4} y^{2}$ 的系数为（）

A、 $15$ B、 $25$ C、 $30$ D、 $65$

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7. 如图，在正六棱台 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $A E = \sqrt{3}$ ， $A_{1} D_{1} = 4$ ，四边形 $A D D_{1} A_{1}$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，则该正六棱台的表面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{51} + 7 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{9 \sqrt{51}}{2}$ C、 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{51} + 15 \sqrt{3}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + a - (1 - x^{3} + x^{2} + x) e^{x}$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, e)$ B、 $[e, e^{2})$ C、 $[\frac{e^{2}}{5}, e^{2})$ D、 $[\frac{e^{2}}{5}, \frac{7 e^{3}}{5})$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设正数 $a, b, c, d$ 满足 $b$ 为 $a$ 与 $c$ 的等差中项， $c$ 为 $b$ 与 $d$ 的等比中项，则下列说法正确的是（）

A、若 $b = 2 a$ ，则 $d = \frac{9}{2} a$ B、若 $d = \frac{5}{4} c$ ，则 $a = \frac{3}{5} c$ C、若 $a, b$ 为整数，则 $c$ 不为整数 D、若 $a, b$ 为整数，则 $d$ 可能不为整数

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10. 设实数 $a$ ， $b$ 满足 $3 {(a - b)}^{2} = 6 - 4 a b$ ，则 $a b$ 的可能取值有（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- \frac{3}{4}$

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11. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $A$ 为 $E$ 在第一象限部分上的一点，过点 $A$ 且与 $E$ 相切的直线分别交 $y$ 轴、 $x$ 轴于 $B$ ， $C$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、若点 $D (\frac{1}{4}, 0)$ ，则 $|A D|$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $△ O B C$ 的面积不小于 $2 \sqrt{3}$ D、 $∠ F_{1} A B = ∠ F_{2} A C$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 记 $F (2, 0)$ 为双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的右焦点，则 $E$ 的渐近线方程为

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13. 已知某随机变量X服从正态分布 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (2 \leq X < 6) = 0.4$ ，则 $P (X \geq 6) =$ ， $P (X > - 2 |X < 2) =$

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14. 在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{3} ， A B = 2 \sqrt{3}$ ，以 $△ A B C$ 各边为直径分别向外作三个半圆， $P ， Q$ 为三个半圆上任意两点，则 $P Q$ 的最大值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = \tan (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 和 $(\frac{π}{6}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 相邻的两个对称中心.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、探究在区间 $(-π, π)$ 上有几条平行于 $y$ 轴且被曲线 $y = f (x)$ 无限逼近的直线.

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16. 已知 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 为公差相同的等差数列，且 $a_{n} + b_{n} = 4 n$ ， $a_{1} = b_{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 为数列 $\{\frac{1}{a_{n} b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $2 S_{n} < 1$ .

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17. 设函数 $f (x) = e^{x + a} + a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在大于0的零点，求a的取值范围；

(2)、设点 $(m, n)$ 在曲线 $y = f (x)$ 的任意一点的切线上，证明： $f (m) \geq n$ .

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18. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A E ⊥ C D$ ，垂足为E，且 $A B = A E = \frac{1}{3} C D = 1$ ，延长线段 $E D$ 至点P，使得 $E P = 2 \sqrt{2}$ .将 $△ A E P$ 沿 $A E$ 翻折至 $△ A E P^{'}$ 的位置，D到达 $D^{'}$ 的位置，使得 $P^{'} C = 2$ .

(1)、证明：平面 $P^{'} B C ⊥$ 平面 $P^{'} B E$ ；

(2)、求直线 $A D^{'}$ 与 $C P^{'}$ 所成角的大小；

(3)、求三棱锥 $A - P^{'} E C$ 与三棱锥 $B - P^{'} E C$ 所围成的公共部分的外接球的表面积.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $F (1, 0)$ 为抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，A，B，C为E上三点，且F为 $△ A B C$ 的垂心.

(1)、若点A的纵坐标为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $B C$ 的斜率；

(2)、若 $|A F| = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、证明： $\vec{F A} \cdot \vec{F B}$ 为定值.

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