广东省广州市执信中学2025-2026学年高三上学期12月阶段测试数学试题

试卷更新日期：2025-12-23 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 数集 $X = {(2 n + 1) π, n$ 是整数 $}$ 与数集 $Y = {(4 k \pm 1) π, k$ 是整数 $}$ 之间的关系是（）

A、 $X \subset Y$ B、 $X \supset Y$ C、 $X = Y$ D、 $X \neq Y$

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2. 如果方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0（D²＋E²－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有

A、D＝E B、D＝F C、F＝E D、D＝E＝F

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3. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）

A、（–∞，1） B、（–∞，–1） C、（1，+∞） D、（–1，+∞）

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如下，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{x}{1 - | x |}$ B、 $f (x) = \frac{x}{| x | - 1}$ C、 $f (x) = \frac{| x |}{1 - x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{| x |}{x^{2} - 1}$

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5. 将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ cm B、6 cm C、 $2 \sqrt[3]{18}$ cm D、 $3 \sqrt[3]{12}$ cm

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6. 若多项式 $x^{2} + x^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + ... + a_{9} {(x + 1)}^{9} + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、9 B、10 C、-9 D、-10

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7. 如图，直线 $y = 1$ 与函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象的三个相邻的交点为 $A, B, C$ 三点，且 $|A B| = π, |B C| = 2 π$ ，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. 如图，B地在A地的正东方向 $4 km$ 处，C地在B地的北偏东 $30 °$ 方向 $2 km$ 处，河流的沿岸 $P Q$ （曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远 $2 km$ ．现要在曲线 $P Q$ 上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/ $km$ 、 $2 a$ 万元/ $km$ ，那么修建这两条公路的总费用最低是（）

A、 $(2 \sqrt{7} - 2) a$ 万元 B、 $5 a$ 万元 C、 $(2 \sqrt{7} + 1) a$ 万元 D、 $(2 \sqrt{3} + 3) a$ 万元

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知点 $A_{i} (x_{i}, 0) (1 \leq i \leq 10, i \in N)$ 与点 $B_{i} (y_{i}, 10) (1 \leq i \leq 10, i \in N)$ 关于点 $(3, 5)$ 对称，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 的平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，方差为 $c$ ，极差为 $d$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\dots$ ， $y_{10}$ 这组数满足（）

A、平均数为 $3 - a$ B、中位数为 $6 - b$ C、方差为 $c$ D、极差为 $d$

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1}, C D$ 的中点，则（）

A、 $A E ⊥ B D$ B、 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B B_{1} F$ C、 $E F //$ 平面 $A B_{1} C$ D、 $B E // D C_{1}$

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11. 设 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ 是函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 的三个零点，则（）

A、 $x_{1} < 0$ B、 $a < \frac{e^{2}}{4}$ C、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列，则 $- x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等比数列 D、若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列，则 $x_{3} - x_{1} = 4 \ln (1 + \sqrt{2})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为9，那么点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为．

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\frac{\tan A \tan B}{\tan A + \tan B} = \frac{1}{2}, c = \sqrt{3}, C = \frac{π}{3}$ ，则 $a b$ 的值为．

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14. 已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0 \end{array}$ ， $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 是平面内三个不同的单位向量．若 $f (\vec{a} \cdot \vec{b}) + f (\vec{b} \cdot \vec{c}) + f (\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |$ 的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{5} = 20$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{4} + b_{4} = 9$ ，且公比为q，从① $q = 2$ ；② $q = \frac{1}{2}$ ；③ $q = - 1$ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列 $\{a_{n} - b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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16. 设函数 $f (x) = x - x^{3} e^{a x + b}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + 1$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、求 $f (x)$ 的极值点个数．

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17. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B_{1} A_{1} A = ∠ C_{1} A_{1} A = 60^{0}, A A_{1} = A C = 4$ ， $A B = 2$ ， $P, Q$ 分别为棱 $A A_{1}, A C$ 的中点.
（1）在平面 $A B C$ 内过点 $A$ 作 $A M / /$ 平面 $P Q B_{1}$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $P Q B_{1}$ 所成角的正弦值.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ， $F_{1}, F_{2}$ 为左、右焦点，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 交椭圆于 $A, B$ 两点．

(1)、若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，求 $|A B|$ ；

(2)、当 $∠ F_{1} A B = 90 °$ 时， $A$ 在 $x$ 轴上方，求 $A$ 、 $B$ 的坐标；

(3)、设 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，求点 $A$ 到直线 $O M$ 的距离 $d$ 的最小值．

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19. 现有一种不断分裂的细胞 $X$ ，每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个 $X$ 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 $X$ 细胞，每次分裂后原 $X$ 细胞消失，设每次分裂成一个新 $X$ 细胞的概率为 $p$ ，分裂成两个新 $X$ 细胞的概率为 $1 - p$ ；新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 $X$ 细胞，在第一个周期 $T$ 中开始分裂，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

(1)、设 $2 T$ 结束后， $X$ 细胞的数量为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、设 $n T (n \in N^{*})$ 结束后， $X$ 细胞数量为 $m$ 的概率为 $P_{m} (n)$ .
（i）求 $P_{2} (n)$ ；
（ii）证明： $P_{3} (n) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

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