人教版八（下）数学第二十章勾股定理单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-01-04 类型：单元试卷

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一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 1 m$ ，将它往前推 $6 m$ 至 $C$ 处时（即水平距离 $C D = 6 m$ ），踏板离地的垂直高度 $C F = 4 m$ ，它的绳索始终拉直，则绳索 $A C$ 的长是（） $m$

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、6 D、 $\frac{9}{2}$

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2. 定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形” $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 ° ， ∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4 ， C D = 2$ ，则边 $B C$ 的长是（）

A、 $4 \sqrt{3} - 2$ B、 $4 \sqrt{3} - 4$ C、 $4 \sqrt{3} - 4$ 或 $4 \sqrt{3} - 3$ D、 $4 \sqrt{3} - 4$ 或 $4 \sqrt{3} - 2$

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3. 如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（4、J分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形ACJH的面积为（）

A、25 B、64 C、100 D、169

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $A D = B D$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $∠ B E D = 45 °$ ，若 $C D = 5, A E = 6$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点D是 $A B$ 边上一点，连接 $C D$ ，把 $C D$ 绕点D旋转至 $D E$ ，连接 $B E$ ．若 $A C = B E = 2$ ， ∠DEB＝90°，则 $A D$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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6. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $A B = A C = A D$ ， $A C ⊥ A D$ ， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $A E$ 的反向延长线与 $B D$ 交于点 $F$ ，连接 $C D$ ，则线段 $B F$ ， $D F$ ， $C D$ 三者之间的关系为（）

A、 $B F - D F = C D$ B、 $B F + D F = C D$ C、 $B F^{2} + D F^{2} = C D^{2}$ D、 $2 B F - 2 D F = C D$

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7. 如图，教室墙面 $A D E F$ 与地面 $A B C D$ 垂直，点 $P$ 在墙面上，若 $P A = \sqrt{13}$ 米， $A B = 2$ 米，点 $P$ 到 $A F$ 的距离是3米，一只蚂蚁要从点 $P$ 爬到点 $B$ ，它的最短行程是（）米

A、5 B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{13}$ D、3

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8. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $A C = B C, ∠ A C B = 9 0^{°}, D$ 为AB的中点， $E$ 为线段AD上一点，过 $E$ 点的线段FG交CD的延长线于 $G$ 点，交AC于 $F$ 点，且 $E G = A E$ ．分别延长 $C E, B G$ 交于点 $H$ ，若EH平分 $∠ A E G$ ， HD平分 $∠ C H G, H D$ 交EG于点 $M$ ，则下列说法：① $∠ G D H = 4 5^{°}$ ；② $G D = E D$ ；③ $E F = 2 D M$ ；④ $C G = 2 D E + A E$ ，正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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9. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P₁ ， P₂ ， …P₁₀ ，记M_i=AP_i²+P_iB•P_iC（i=1，2，…，10），那么M₁+M₂+…+M₁₀的值为（　　）

A、4 B、14 C、40 D、不能确定

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10. 如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△₁、△₂、△₃、△₄…，则△₂₀₁₃的直角顶点的坐标为（）

A、 $(8054 ， 0)$ B、 $(8053 ， 0)$ C、 $(8052 ， 0)$ D、 $(8051 ， 0)$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 如图，在等边△ABC中， $A B = 5$ ，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上， $C E = C F$ ，则 $A E + A F$ 的最小值是．

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12. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $△ B D E$ 是等腰三角形， $B D = D E$ ，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，连接 $C D$ ，点 $E$ 关于 $C D$ 的对称点 $E^{'}$ 在 $A C$ 边上，连接 $D E^{'}$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，点 $F$ 是 $A B$ 的中点，连接 $F G$ ，若 $C E = 1$ ， $B C = 3$ ，则 $F G =$ ．

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13. 如图，在矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3} ， B C = 1$ ，将 $△ A B D$ 沿射线DB平移得到 $△ A^{'} B^{'} D^{'}$ ，连接 $B^{'} C$ ， $D^{'} C$ ，则 $B^{'} C + D^{'} C$ 的最小值是。

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14. 如图，在 $△ A B C$ ， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ．在 $△ A B C$ 内作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，使点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 分别在两直角边 $A B$ ， $A C$ 上，点 $C_{1}$ ， $D_{1}$ 在斜边 $B C$ 上，用同样的方法，在 $△ C_{1} B_{1} C$ 内作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ；在 $△ C B_{2} C_{2}$ 内作正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ……，若 $A B = 1$ ，则正方形 $A_{2024} B_{2024} C_{2024} D_{2024}$ 边长为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A < 90 °$ ，点 $D 、 E 、 F$ 分别在边 $A B 、 B C 、 C A$ 上，连接 $D E 、 E F 、 F D$ ，已知点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称．设 $\frac{B C}{A B} = k$ ，若 $A D = D F$ ，则 $\frac{C F}{A B} =$ （结果用含 $k$ 的代数式表示）．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16. 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P为线段AD上一动点（点P不与点A，D重合），以PB为边在PB的下方作等边三角形PBQ，连接CQ.

(1)、求证：AP=CQ；

(2)、如题图2，M，N为直线CQ上两点，且BM=BN，△BMN的周长为16，CD=4，求MN的长.

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17. 阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点 $M_{1} (x_{1}, y_{1}), M_{2} (x_{2}, y_{2})$ ．我们把 $d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ 叫做 $M_{1}, M_{2}$ 两点间的距离，记作 $d (M_{1}, M_{2})$ ．如 $A (- 2, 3), B (2, 5)$ ，则 $d (A, B) = \sqrt{{(- 2 - 2)}^{2} + {(3 - 5)}^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ．
请根据以上阅读材料，解答下列问题：

(1)、①若 $A (3 \sqrt{2}, 0), B (0, 4 \sqrt{2})$ ，直接写山 $d (A, B)$ 的值；
②当 $A (a, 1), B (- 1, 4)$ 的距离 $d (A, B) = 5$ 时，求出 $a$ 的值；

(2)、①若在平面内有一点 $C (x, y)$ ，使式子 $\sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}}$ 有最小值，直接写出这个最小值；
②直接写出 $\sqrt{{(m - 3)}^{2} + 1} + \sqrt{m^{2} + n^{2}} + \sqrt{4 + {(n - 6)}^{2}}$ 的最小值．

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18. 旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”.
【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB.

(1)、则点P与P'之间的距离为PP'= ， $∠ A P B =$ °(直接写出答案)

(2)、在(1)的条件下，小明同学在求 $A B^{2}$ 时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算 $A B^{2} =$ (直接写出答案)

(3)、【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点， $P A = 1, P B = 2, P C = 3$ .求 $∠ A P B$ 的度数?请写出完整过程； $S_{正方形 A B C D} =$ ▲ (直接写出答案)

(4)、【学以致用】如图4，将 $△ B P A$ 绕点B逆时针旋转 $6 0^{°}$ 至 $△ B P^{'} A^{'}$ ，连接PP'、A'C，记A'C与AB交于点D，可知 $B A^{'} = B A = B C$ ， $∠ A^{'} B C = ∠ A^{'} B A + ∠ A B C = 12 0^{°}$ ，由 $B P^{'} = B P$ ， $∠ P^{'} B P = 6 0^{°}$ ，可知 $△ P^{'} B P$ 为等边三角形，有 $P B = P^{'} P$ .故 $P A + P B + P C = P^{'} A^{'} + P^{'} P + P C \geq A^{'} C$ ，因此，当A'、P'、P、C共线时，如图5， $P A + P B + P C$ 有最小值为A'C.
请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值为(直接写出答案)

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $A B = 1$ ，点F为 $A C$ 的中点.

(1)、【问题解决】
如图①，判断线段 $A C$ 与线段 $B F$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、【问题探究】
如图②，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转 $30 °$ 得到 $△ D E C$ ，点A，B的对应点分别为D，E.此时点E恰好落在边AC上，连接DA，DF，求四边形BADF的面积；

(3)、【拓展延伸】
如图③，若将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ D E C$ ，连接 $E B$ ， $D F$ ，求四边形 $B E D F$ 的面积.

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20. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．
【解决问题】：已知如图1在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 ， B C = 5 ， A B = 7$ ．

(1)、请你用“海伦-秦九韶公式”求 $△ A B C$ 的面积．

(2)、除了利用“海伦-秦九韶公式”求 $△ A B C$ 的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．

(3)、如图2，D是 $△ A B C$ 内一点， $∠ B D C = 90 ° ， B D = C D ， A B = 17 ， A C = 21$ ， $A D = 5 \sqrt{2}$ ，则 $B C$ 的长是．

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21. 综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的 $logo$ ，小鸣在设计 $logo$ 的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．
因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ．
【初步探究】（1）小鸣将 $△ A D E$ 绕点A 在平面内自由旋转，连接 $B D 、 C E$ 后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段 $B D 、 C E$ 的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（2）若 $∠ A D B = 90 °$ ，旋转过程中，当点D、点 E 和 $B C$ 的中点O 三点共线时，如图2，探究线段 $B D 、 D O$ 和 $O E$ 的数量关系，并说明理由．
【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若 $∠ B A D = 30 ° ， A B = 4$ ，则 $O D =$ （直接写出结果）；
【拓展探究】（4）如图3，当 $∠ D B C = 90 °, ∠ B D C = 60 ° ， B D = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = \sqrt{42}$ ，则CD= （直接写出结果）

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22. （1）【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：
如图1，已知等边 $△ A B C$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，连接 $A D$ 、 $C D$ 、 $B D$ ．若 $∠ A D C = 30^{\circ}$ ， $A D = 3$ ， $B D = 5$ ，求 $C D$ 的长．请你帮忙完善解题过程．
解∶如图2所示，以 $D C$ 为边作等边 $△ C D E$ ，连接 $A E$ ．
$∵ △ A B C$ 、 $△ C D E$ 是等边三角形，
$∴ B C = A C$ ， $D C = E C$ ， $∠ B C A = ∠ D C E = 60^{\circ}$ ，
$∴ ∠ B C A + ∠ A C D =$ _________ $+ ∠ A C D$ ，
即 $∠ B C D = ∠ A C E$ ，
$∴$ ________≌_________．
$A E = B D = 5$ ，
$∠ A D C = 30^{\circ}$ ， $∠ C D E = 60^{\circ}$ ，
$∴ ∠ A D E = ∠ A D C + ∠ C D E = 90^{\circ}$ ，
$∵ A D = 3$ ，
$∴ C D = C E =$ ________．
（2）【尝试应用】如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 4$ ，以 $A C$ 为直角边， $A$ 为直角顶点作等腰直角 $△ A C D$ ，求 $B D$ 的长．
（3）【拓展创新】如图4，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 8$ ，以 $B C$ 为边向外作等腰 $△ B C D$ ， $B D = C D$ ， $∠ B D C = 120^{\circ}$ ，连接 $A D$ ，直接写出 $A D$ 的最大值．

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23. 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？

(1)、探究一：
如图2，已知“等补四边形” $A B C D$ ，若 $∠ A = 90 °$ ，将“等补四边形” $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，可以形成一个直角梯形（如图3）．若 $B C = 4 c m$ ， $C D = 2 c m$ ，则“等补四边形”的面积为 $c m^{2}$

(2)、探究二：
如图4，已知“等补四边形” $A B C D$ ，若 $∠ A = 120 °$ ，将“等补四边形”绕点 $A$ 顺时针旋转 $120 °$ ，再将得到的四边形按上述方式旋转 $120 °$ ，可以形成一个等边三角形（如图5）．若 $B C = 6 c m$ ， $C D = 4 c m$ ，求“等补四边形” $A B C D$ 的面积．

(3)、探究三：
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道 $B C$ ， $C D$ 的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形” $A B C D$ ，连接 $A C$ ，若 $B C = m$ ， $C D = n$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，试求出“等补四边形” $A B C D$ 的面积（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）．

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人教版八（下）数学第二十章 勾股定理 单元测试培优卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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