人教版八（下）数学第二十章勾股定理单元测试提升卷

试卷更新日期：2026-01-04 类型：单元试卷

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一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在 $Rt △ A B C$ 中，斜边 $B C = 2$ ，则 $A B^{2} + A C^{2} + B C^{2}$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、无法计算

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2. 在正方形网格中， $∠ A O B$ 的位置如图所示，到 $∠ A O B$ 两边距离相等的格点应是（　　）

A、点M B、点N C、点P D、点Q

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3. 如图，在高为 $5 m$ ，坡面长为 $13 m$ 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）

A、 $13 m$ B、 $17 m$ C、 $18 m$ D、 $26 m$

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4. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多余广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何？” 意为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少？”如图，设户广为x尺，可列出方程（）

A、 $(x - 6.8)^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ B、 $(x + 6.8)^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ C、 $(x + 6.8)^{2} + 1 0^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + 1 0^{2} = (x + 6.8)^{2}$

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5. 某平板电脑支架如图所示， $E A = E D = 6 \sqrt{3} c m$ ，为了使用的舒适性，可调整 $∠ A E D$ 的大小. 若 $∠ A E D = 12 0^{°}$ ，则AD的长度为（）

A、12 B、18 C、 $12 \sqrt{3}$ D、15

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6. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2， $A C = B C = B D = 1$ ，若以点A为圆心， $A D$ 的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- 2 + \sqrt{3}$ C、 $- 1 + \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 $B C$ 为 $0.7 m$ ，梯子顶端到地面的距离 $A C$ 为 $2.4 m$ ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 $A^{'} D$ 为 $1.5 m$ ，则小巷的宽为（）．

A、 $2.4 m$ B、 $2m$ C、 $2 .5m$ D、 $2 .7m$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ B C D = 90 °$ ，分别以四边形 $A B C D$ 的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ．若 $a = 2$ ， $b + c = 12$ ，则 $d$ 为（　　）

A、8 B、10 C、12 D、14

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9. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）

A、20米 B、25米 C、30米 D、15米

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10. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若 $A C = 6$ ， $B C = 5$ ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．

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12. 如图，每个小正方形的边长为1， $A$ ， $B$ ， $C$ 是小正方形的顶点，则 $∠ A B C$ 的度数为．

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13. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为．

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14. 如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知 $A D = 6$ 米， $A B = 5$ 米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是米 $.$

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15. 如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 16$ ， $D$ 是 $A C$ 上的一点， $C D = 3$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发沿射线 $B C$ 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ ．过点 $D$ 作 $D E ⊥ A P$ 于点 $E$ ．在点P的运动过程中，当t为时，能使 $D E = C D$ ？

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16. 如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B，D 作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

(1)、用含x 的代数式表示AC+CE 的长.

(2)、请问：点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小?

(3)、根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值.

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17. 我们知道，四边形内角和为360°，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补，因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”，例如：在四边形PQRS中，若∠P+∠R=180°（或∠Q+∠S=180°），则称四边形PQRS为“双补四边形”.

(1)、已知四边形EFGH是“双补四边形”.
①若∠E：∠F：∠G=7：4：2，则∠H=；
②如图1，若∠F=90°，FG=8，GH= $\sqrt{93}$ ， EH= $\sqrt{7}$ ，则EF=；

(2)、如图2，在四边形EFGH中，FH平分∠EFG，EH=GH.求证：四边形EFGH是“双补四边形”；

(3)、如图3，四边形EFGH是“双补四边形”，EF=FG，点M，N分别在边EH，GH上，且满足EM+GN=MN．试探究∠MFN和∠H之间满足的数量关系，并证明你的结论.

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18. 实验探究：

实验情景示意图
实验使用装置	①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（ $A$ 、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度．
初始状态	图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为 $8 dm$ ，且 $A B + B C = 16 dm$ ．
实验条件	绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．
任务	（1）求绳子的总长度；
任务	（2）图2若物体C升高 $7 dm$ ，求滑块B向左滑动的距离．

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19. 综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动， $△ A C D$ 和 $△ B C E$ 是两个等边三角形纸片，其中， $A C = 5 c m$ ， $B C = 2 c m$ ．
【解决问题】

(1)、勤奋小组将 $△ A C D$ 和 $△ B C E$ 按图1所示的方式摆放（点A ， C ， B在同一条直线上），连接AE ， BD ，请直接写出AE、BD之间的数量关系．

(2)、如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将 $△ B C E$ 绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求 $△ A B C$ 的面积．

(3)、【拓展延伸】
如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将 $△ B C E$ 沿CD方向平移acm得到 $△ B^{'} C^{'} E^{'}$ ．连接AB' ， B'C ，当 $△ A B^{'} C$ 恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，请你求出a的值及AB'长度．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O ， A C ⊥ B D ， A O = C O ， E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $B E = B A ， ∠ A B D = 2 ∠ A D B = 2 α$ ．

(1)、求证： $B E = B C$ ；

(2)、求 $∠ C B E$ 的度数（用含 $α$ 的代数式表示）；

(3)、若 $A C = 2 \sqrt{6}$ ， $D E = 2$ ，求 $O D$ 的长．

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21. 在数学学习中，观察

\to

实验

\to

猜想

\to

证明是研究几何图形性质的一般思路．某班同学运用这个思路对三角形三边平方的关系展开了研究：

【观察】在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方（设直角边长分别为 $a, b$ ，斜边为 $c$ ，那么 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．对于一般的三角形 $△ A B C$ ，三边长分别为 $B C = a, A C = b, A B = c$ ，且 $c \geq b \geq a$ ，其边长的平方是否也存在某种关系．

【实验操作】小组成员通过测量不同类型三角形（锐角三角形，钝角三角形）三边的长度，计算它们的平方并进行比较，猜想三边平方之间的关系：

当 $△ A B C$ 是锐角三角形时，三边之间的关系是： $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ；

当 $△ A B C$ 是钝角三角形时，三边之间的关系是： ① ．

【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来，过点 $A$ 作 $A D ⊥ C B$ ，垂足为 $D$ ．这样就把锐角 $△ A B C$ 分成了两个直角三角形 $△ A D C$ 和 $△ A D B$ ，从而可以运用勾股定理进行边的关系推导．

以下是小组成员的证明过程：

如图①，过点 $A$ 作 $A D ⊥ C B$ ，垂足为 $D$ ．设 $C D = x$ ．

$∵$ 在 $Rt △ A D C$ 中， $A D^{2} = b^{2} - x^{2}$ ，

在 $Rt △ A D B$ 中， $A D^{2} =$ ② ， $∴ b^{2} - x^{2} =$ ② ．

化简得， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2 a x$ ．

$∵ a > 0, x > 0, ∴ 2 a x > 0$ ．

$∴ a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ．

$∴ a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ．

（1）其中，①是_______；②是_______．

【知识迁移】（2）如图②，当 $△ A B C$ 是钝角三角形时，请证明 $a^{2} + b^{2}$ 与 $c^{2}$ 之间的关系．

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22. 轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变化探究图形中线段的数量关系．
【初步感知】
（1）如图1，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 2 ∠ C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求证： $A B + A D = B C$ ．
①如图2，小明同学想到了翻折 $△ A D B$ ，给出如下解题思路：在 $B C$ 上截取 $B M = A B$ ，连接 $D M$ ；
②如图3，小丽同学想到了翻折 $△ C D B$ ，给出了如下解题思路：延长线段 $B A$ 到点 $N$ ，使 $B N = B C$ ，连接 $N D$ ；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【深入探究】
（2）如图4， $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，平面内有点 $D$ （点 $D$ 和点 $A$ 在 $B C$ 的同侧），连接 $D C$ ， $D B$ ， $∠ D = 45 °$ ， $∠ A B D = 2 ∠ A C B$ ．求证： $B D + A B = \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ ；
【拓展延伸】
（3）如图5，在（2）的条件下，若 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $A B = 1$ ，请求出线段 $A C$ 的长度．

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23. 如图，在 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 上一动点，以 $A D$ 为底，在 $A D$ 的右侧作等腰直角 $△ A D E$ ， $A E$ 的延长线交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、如图1；当 $A D = A F$ 时，
①求证： $B D = C F$ ；
②若 $A B = 6$ ，求线段 $D F$ 的长；

(2)、如图2，若 $B D = 8$ ， $C F = 15$ ，求线段 $A B$ 的长；

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人教版八（下）数学第二十章 勾股定理 单元测试提升卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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