人教版七（下）数学第八章实数单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-01-04 类型：单元试卷

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一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若m＝5n（m、n是正整数），且 $10 < \sqrt{m} < 12$ ，则与实数 $\sqrt{n}$ 的最大值最接近的数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 黄金三角形就是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，其比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，人们通常把该数叫做“黄金分割数”，请估计 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的值在（　　）

A、在0到 $\frac{1}{2}$ 之间 B、在 $\frac{1}{2}$ 到1之间 C、在1到 $\frac{3}{2}$ 之间 D、在 $\frac{3}{2}$ 到2之间

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3. 已知a，b，c为实数，且 $c = \sqrt{a + b - 8} - \sqrt{8 - a - b} + 25$ ，则 $\sqrt[3]{a + b} + \sqrt{c}$ 的值为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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4. 若关于x的多项式 $7 x^{3} - 11 m x^{2} - 15 x + 9$ 与多项式 $22 x^{2} - 5 n x - 7$ 相加后不含x的二次项和一次项，则-(mn+n)的平方根为( )

A、3 B、-3 C、±3 D、 $\pm \sqrt{3}$

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5. 已知 $\min {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 $x = 9$ ， $\min {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\min {\sqrt{9}$ ， $9^{2}$ ， $9}$ =3﹒当 $\min {\sqrt{x}$ ， $x^{2}$ ， $x}$ = $\frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 下列四个式子：
① $\sqrt{8} < \sqrt{10}$ ；② $\sqrt{65}$ ＜8；③ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＜1；④ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ＞0.5．

其中大小关系正确的式子的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ $\sqrt{3}$ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 $\overset{第 1 次}{\to}$ [ $[\frac{82}{\sqrt{82}}]$ ]=9 $\overset{第 2 次}{\to}$ [ $\frac{9}{3}$ ]=3 $\overset{第 3 次}{\to}$ [ $\frac{3}{\sqrt{3}}$ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在 $5 \times 5$ 的网格格点上，试估计阴影部分的边长在哪两个整数之间，则正确的是（）

A、2和3 B、3和4 C、4和5 D、5和6

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9. 地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式 $V = \frac{4 π R^{3}}{3}$ （R为球体半径），计算得到下表数据：

地球仪的体积V（单位： $c m^{3}$ ）
地球仪的半径R（单位： $cm$ ）
地球仪A
$\frac{40 π}{3}$
$\sqrt[3]{10} \approx 2.154$
地球仪B
$\frac{400 π}{3}$
$\sqrt[3]{100} \approx 4.642$
已知地球仪C的体积为 $\frac{40000 π}{3} c m^{3}$ ，则它的半径约为（）

A、 $2.154 cm$ B、 $21.54 cm$ C、 $4.642 cm$ D、 $46.42 cm$

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10. 设 $[x]$ 表示最接近 $x$ 的整数，则 $[\sqrt[3]{1}] + [\sqrt[3]{2}] + [\sqrt[3]{3}] + \dots + [\sqrt[3]{125}] + [\sqrt[3]{126}] = ()$

A、 $479$ B、 $478$ C、 $476$ D、 $475$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 我们知道 $\sqrt{3}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于 $1 < \sqrt{3} < 2$ ，所以 $\sqrt{3}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{3} - 1$ 。根据以上的内容，解答下面的问题：若 $\sqrt{7}$ 的小数部分为a， $\sqrt{26}$ 的整数部分为b，则 $a + b - \sqrt{7}$ 的值是。

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12. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为 $a, b, c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．如果某个三角形的三边长分别为 $2, 3, 3$ ，其面积 $S$ 介于整数 $n$ 和 $n + 1$ 之间，那么 $n$ 的值是．

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13. 已知 $y = \sqrt{{(x - 4)}^{2}} - x + 5,$ 当x分别取1，2，3，…， 2 021 时，所对应的 y 值的总和为.

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14. 设2016a³＝2017b³＝2018c³ ， abc＞0，且 $\sqrt[3]{2016 a^{2} + 2017 b^{2} + 2018 c^{2}} = \sqrt[3]{2016} + \sqrt[3]{2017} + \sqrt[3]{2018}$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ ＝

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15. 对于实数 $a 、 b$ ，定义 $min \{a ， b\}$ 的含义为∶ 当 $a < b$ 时， $m i n {a ， b} = a$ ；当 $a > b$ 时， $m i n {a ， b} = b$ ，例如∶ $m i n {1 ， - 2} = - 2$ ．已知 $m i n {\sqrt{30} ， a} = a ， m i n {\sqrt{30} ， b} = \sqrt{30}$ ，且 $a$ 和 $b$ 为两个连续正整数，则 $2 a - b$ 的值为．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16. 计算：

(1)、 $|1 - \sqrt{2}| + \sqrt[3]{- \frac{8}{27}} \times \sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{- \frac{1}{27}} + \sqrt{1 - \frac{8}{9}}$ ；

(3)、解方程： ${(5 - x)}^{2} = {(- 7)}^{2}$ ．

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17. 阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果 $m x + n = 0$ ，其中 $m$ ， $n$ 为有理数， $x$ 为无理数，那么 $m = 0$ ， $n = 0$ ．
运用上述知识解决下列问题：

(1)、如果 $(m + 1)$ $\sqrt{3}$ $+ n - 2 = 0$ ，其中 $m$ ， $n$ 为有理数，求 $m$ 和 $n$ 的值；

(2)、若 $m$ $n$ 均为有理数，且 $(m + 1) \sqrt{2} + m - 17 = 2 \sqrt{2} - n^{2}$ ，求 $|m + n|$ 的算术平方根．

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18. 本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立．
阅读材料：当 $a \geq 0$ 时， $\sqrt{a}$ 是非负数 $a$ 的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算： $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b} (a \geq 0, b \geq 0)$ ．如： $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2 ， \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$ ．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如： $3 + 2 \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} = (3 - 1) + (2 \sqrt{2} + \sqrt{2}) = 2 + 3 \sqrt{2}$ ．
根据以上材料，解决下列问题：实数 $a$ 与 $b$ 满足 $b = \sqrt{a + 3}$ ．

(1)、写出 $a$ 与 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $\sqrt{2} b$ 为有理数8，求此时 $a$ 的值；

(3)、已知 $a = - 1 ， x ， y$ 是有理数，且 $x ， y$ 满足等式： $x + (y b + x) b = 2 - 4 b$ ，求 $x$ 和 $y$ 的值．

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19. 阅读材料，完成任务．
材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数 $\sqrt{2}$ ；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m．
材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示 $\pm \sqrt{2}$ 的点，关键是在数轴上构造线段 $O A = O A^{'} = \sqrt{2}$ ．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A， $A^{'}$ ，则点A对应的数为 $\sqrt{2}$ ，点 $A^{'}$ 对应的数为 $- \sqrt{2}$ ．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点．
材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段 $O B$ 与 $O B^{'}$ ，其中O仍在原点，点B， $B^{'}$ 分别在原点的右侧、左侧，可由线段 $O B$ 与 $O B^{'}$ 的长得到点B， $B^{'}$ 所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点．
任务：

(1)、材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M；

(2)、如图5，点B表示的数为________，点 $B^{'}$ 表示的数为________；

(3)、数轴上分别标出表示数-0.5以及 $- 3 + m$ 的点，并比较它们的大小．

(4)、若 $a = - 3 + m$ ， $b = m - \sqrt{2}$ ，求代数式 $|a + 0.5| - |2 - b|$ 的值，并在数轴上表示对应的点．

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20. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，而 $1 ＜ \sqrt{2}$ ＜2于是可用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分.请解答下列问题：
(1) $\sqrt{21}$ 的整数部分是_______，小数部分是_________；
(2)如果 $\sqrt{7}$ 的小数部分为 $a ， \sqrt{15}$ 的整数部分为 $b ，$ 求 $a + b - \sqrt{7}$ 的值；
(3)已知： $100 + \sqrt{110} = x + y ，$ 其中 $x$ 是整数，且 $0 ＜ y ＜ 1 ，$ 求 $x + \sqrt{110} + 24 - y$ 的平方根．

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21. 阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数 $a$ 和 $b$ 比较大小，有如下规律：若 $a - b > 0 ，$ 则 $a > b ；$ 若 $a - b = 0 ，$ 则 $a = b ；$ 若 $a - b < 0 ，$ 则 $a < b .$ 上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发“现”的规律，解决问题：

(1)、比较大小： $3 + \sqrt{5}$ $\sqrt{10} + \sqrt{5}$ ；（填“<”，“＝”或“>”）

(2)、已知 $x + 2 y - 2 = 0$ ，若 $x \geq 0$ 且 $A = 5 x y + y + 1$ ， $B = 5 x y + 2 y$ 试比较的 $A$ 和 $B$ 大小．

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22. 请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．
比如：若 $x^{2} = a (a \geq 0)$ ，则 $x$ 叫 $a$ 的二次方根；若 $x^{3} = a$ ，则 $x$ 叫 $a$ 的三次方根；若 $x^{4} = a (a \geq 0)$ ，则 $x$ 叫 $a$ 的四次方根．

(1)、依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；

(2)、81的四次方根为；-32的五次方根为；

(3)、若 $\sqrt[4]{a - 1}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围是；若 $\sqrt[5]{a}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围是；

(4)、求 $x$ 的值： $\frac{1}{2} {(2 x - 4)}^{4} - 8 = 0$ ．

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23. 活动2 口算求立方根
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319，求它的立方根. 华罗庚脱口而出： 39.
你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗?按照下面的方法试一试：
①由. $10^{3} = 1000,100^{3} = 1 000 000,$ ，你能确定 $\sqrt[3]{59 319}$ 是几位数吗?
②由59 319 的个位上的数是9，你能确定、 $\sqrt[3]{59 319}$ 的个位上的数是几吗?
③如果划去59 319后面的三位319得到数59，而3³=27， 4³=64，由此你能确定 $\sqrt[3]{59 319}$ 的十位上的数是几吗?
已知19 683，110 592都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗?

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	地球仪的体积V（单位： $c m^{3}$ ）	地球仪的半径R（单位： $cm$ ）
地球仪A	$\frac{40 π}{3}$	$\sqrt[3]{10} \approx 2.154$
地球仪B	$\frac{400 π}{3}$	$\sqrt[3]{100} \approx 4.642$

人教版七（下）数学第八章 实数 单元测试培优卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

人教版七（下）数学第八章实数单元测试培优卷