人教版八（下）数学第十九章二次根式单元测试培优卷

试卷更新日期：2026-01-04 类型：单元试卷

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一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若 $a^{2} + b^{2} = 4, \sqrt{a b^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 8 a - 4 b - 16} + | b^{2} + 2 b + 9 |$ 的值为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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2. 已知 $\sqrt{5}$ =a， $\sqrt{14}$ =b，则 $\sqrt{0.063}$ =（　　）

A、 $\frac{a b}{10}$ B、 $\frac{3 a b}{10}$ C、 $\frac{a b}{100}$ D、 $\frac{3 a b}{100}$

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3. 如果最简根式 $\sqrt{3 a - 8}$ 与 $\sqrt{17 - 2 a}$ 是同类二次根式，那么使 $\sqrt{4 a - 2 x}$ 有意义的x的取值范围是（　　）

A、x≤10 B、x≥10 C、x＜10 D、x＞10　

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4. 已知 $a_{0} = \sqrt{5}$ ，将 $a_{0}$ 的整数部分加上 $a_{0}$ 的小数部分的倒数得到 $a_{1}$ ，再将 $a_{1}$ 的整数部分加上 $a_{1}$ 的小数部分的倒数得到 $a 2$ ，以此类推可得到 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ，如 $\sqrt{5}$ 的整数部分为 $2$ ，小数部分为 $\sqrt{5} - 2 .$ 所以 $a_{1} = 2 + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 4 .$ 根据以上信息，下列说法正确的有( )
$① a_{3} = \sqrt{5} + 12$ ；
$② a_{2025}$ 的小数部分为 $\sqrt{5} - 2$ ；
$③ a_{23} - a_{22} = \sqrt{5} + 2$ ；
$④ \frac{1}{(a_{2} - \sqrt{5}) (a_{4} - \sqrt{5})} + \frac{1}{(a_{4} - \sqrt{5}) (a_{6} - \sqrt{5})} + . . . + \frac{1}{(a_{98} - \sqrt{5}) (a_{100} - \sqrt{5})} = \frac{49}{3200}$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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5. 设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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6. 已知： $a = \sqrt{6} - \sqrt{5}, b = \sqrt{7} - \sqrt{6}, c = 2 \sqrt{2} - \sqrt{7}$ ，则a ， b ， c的大小关系是（）

A、a＜b＜c B、c＜a＜b C、b＜c＜a D、c＜b＜a

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7. 设 $a = 2 \sqrt{2} - 3$ ， $b = \frac{1}{a}$ ，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系是( )

A、 $a = - b$ B、 $a = b$ C、 $a < b$ D、 $a > b$

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8. 已知x为实数，化简 $\sqrt{- x^{3}} - x \sqrt{- \frac{1}{x}}$ 的结果为（　　）

A、 $(x - 1) \sqrt{- x}$ B、 $(- 1 - x) \sqrt{- x}$ C、 $(1 - x) \sqrt{- x}$ D、 $(1 + x) \sqrt{- x}$

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9. 若 $\frac{m - n}{\sqrt{2 \sqrt{m n} - m - n}}$ 存在，则可化简为（）

A、 $\sqrt{- n} - \sqrt{- m}$ B、 $\sqrt{n} - \sqrt{m}$ C、 $\sqrt{- m} - \sqrt{- n}$ D、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$

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10. 若 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，则 $\frac{x^{2} - x + 2 \sqrt{3}}{{(x^{2} - x)}^{2} - 1 + \sqrt{3}}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11. 已知对所有实数 $x$ ，满足 $|x + 1| + \sqrt{x - \frac{3}{2}} = m - |x - 2|$ ，则 $m$ 的最小值为．

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12. 若 $|2021 - m| + \sqrt{m - 2025} = m$ ，则 $m - 2021^{2}$ 的值为．

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13. 已知实数 $m$ 、 $p$ 满足等式 $\sqrt{m - 3 + n} \cdot \sqrt{3 - m - n} = \sqrt{3 m + 5 n - 2 - p} + \sqrt{m - n - p}$ ，则 $p =$ ．

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14. 若 $a = \frac{1}{\sqrt{26} - 5}$ ，则 $a^{3} - 11 a^{2} + 9 a + 8$ 的值为．

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15. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 $A + B + C + D =$ ．
A
B
$5 \sqrt{2}$
5
$\sqrt{10}$
C
$\sqrt{2}$
10
D

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三、解答题：本大题共8小题，共75分.

16. 计算：

(1)、 $\sqrt{2 \frac{17}{16}} + \frac{6}{5} \sqrt{6 \frac{1}{4}} + 5 \sqrt{\frac{2}{13}} \times 2 \sqrt{1.69} - \frac{3}{8} \sqrt{7 \frac{1}{9}}$ ；

(2)、 $\sqrt{5 3^{2} - 2 8^{2}} + \sqrt{36 0^{2} + 15 0^{2}}$ ；

(3)、 $\sqrt{{(\frac{15}{13})}^{2} - {(\frac{12}{13})}^{2}} + \sqrt{{(\frac{8}{13})}^{2} + {(1 \frac{2}{13})}^{2}}$ ；

(4)、 $\sqrt{2021 \times 2022 \times 2023 \times 2024 + 1}$ ．

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17. 已知x为奇数，且 $\sqrt{\frac{x - 6}{9 - x}} = \frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{9 - x}} ，$ 求 $\sqrt{1 + 2 x + x^{2}} + \sqrt{3 x - 1}$ 的值.

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18. 阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程.
已知m为实数，化简 $： - \sqrt{- m^{3}} + m^{2} \sqrt{- \frac{1}{m}} .$
解：原式 $= - m \sqrt{- m} + m^{2} \cdot \frac{1}{m} \sqrt{- m} = 0 .$

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19. 阅读材料，解决问题：
把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m，n，满足 $m^{2} + n^{2} = x$ 且 $m n = \sqrt{y} ，$ 则可以把 $x \pm 2 \sqrt{y}$ 变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n = {(m \pm n)}^{2} ，$ ，开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简.
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} .$
解： $∴ 3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times 1 \times$ $\sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2} ，$
$∴ \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2} .$

(1)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} ，$

(2)、已知 1≤a≤2，化简： $\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} +$ $\sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}}) .$

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20. 若 $x ， y$ 为实数，且 $y = \sqrt{1 - 4 x} + \sqrt{4 x - 1} + \frac{1}{2}$ ，求 $\sqrt{\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y} - 2 + \frac{y}{x}}$ 的值.

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21. 先阅读材料，再解答问题：
恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当 $x = \sqrt{3} + 1$ 时，求 $\frac{1}{2} x^{3} - x^{2} - x + 2$ 的值.
为解答这道题，若直接把 $x = \sqrt{3} + 1$ 代入所求的式子中进行计算显然很麻烦，我们可以通过恒等变形对本题进行解答：
将条件变形，由 $x = \sqrt{3} + 1 ，$ 得 $x - 1 = \sqrt{3} ，$ 再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由 $x - 1 = \sqrt{3} ，$ 得 $x^{2} - 2 x + 1 = 3 ，$ 即 $x^{2} - 2 x = 2 ， x^{2}$ =2x+2.
原式 $= \frac{1}{2} x (2 x + 2) - x^{2} - x + 2 = x^{2} + x - x^{2} - x + 2 = 2$

(1)、若 $x = \sqrt{2} - 1 ，$ 求 $2 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + 1$ 的值.

(2)、若 $x = 2 + \sqrt{3} ，$ 求 $\frac{x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 4 x + 3}$ 的值.

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22. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}} = |a \pm b|$ ，如何将双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}}$ 化简．我们可以把 $5 \pm 2 \sqrt{6}$ 转化为 ${(\sqrt{3})}^{2} \pm 2 \sqrt{6} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}$ 完全平方的形式，因此双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$ 得以化简．
材料二：在直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (x, y)$ 和 $Q (x, y^{'})$ 给出如下定义：若 $y^{'} = \{\begin{array}{l} y (x \geq 0) \\ - y (x < 0) \end{array}$ 则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点 $(3, 2)$ 的“横负纵变点”为 $(3, 2)$ ，点 $(- 2,5)$ 的“横负纵变点”为 $(- 2, - 5)$ ．请选择合适的材料解决下面的问题：

(1)、点 $(\sqrt{2}, - \sqrt{3})$ 的“横负纵变点”为，点 $(- 3 \sqrt{3}, - 2)$ 的“横负纵变点”为；

(2)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}$ ；

(3)、已知a为常数 $(1 \leq a \leq 2)$ ，点 $M (- \sqrt{2}, m)$ 是关于x的函数 $y = - {\frac{1}{x}}^{} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}})$ 图像上的一点，点 $M^{'}$ 是点M的“横负纵变点”，求点 $M^{'}$ 的坐标．

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23. 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简： $(\sqrt{1 - 3 x})^{2} - | 1 - x |$
解：隐含条件 $1 - 3 x \geq 0$ ，解得： $x \leq \frac{1}{3}$
∴ $1 - x > 0$
∴原式 $= (1 - 3 x) - (1 - x) = 1 - 3 x - 1 + x = - 2 x$

(1)、【启发应用】
按照上面的解法，试化简 $\sqrt{(3 - x)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$ ；

(2)、【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{(a + b)^{2}} - | b - a |$ ；

(3)、已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长．化简： $\sqrt{(a + b + c)^{2}} + \sqrt{(a - b - c)^{2}} + \sqrt{(b - a - c)^{2}} + \sqrt{(c - b - a)^{2}}$ ．

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A	B	$5 \sqrt{2}$
5	$\sqrt{10}$	C
$\sqrt{2}$	10	D

人教版八（下）数学第十九章 二次根式 单元测试培优卷

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

三、解答题：本大题共8小题，共75分.

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