广东省广州市真光中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试数学试题

试卷更新日期：2025-12-19 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. “ $cos x = 0$ ”是“ $sin x = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或2 B、2 C、 $- 1$ D、1

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3. 用二分法求方程 $\sqrt{x} - 3^{- x} = 0$ 的近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A、 $(0, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, 1)$

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4. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为 $y = k \cdot {0.9}^{x}$ ，要使光线削弱为原来的 $\frac{1}{5}$ ，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知 $lg 3 \approx 0.477$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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5. 下列大小关系正确的是（）

A、 $3^{\sqrt{2}} < 3^{\ln 2}$ B、 ${1.1}^{0.2} > {1.2}^{0.5}$ C、 $\sin 1 < \cos 1$ D、 $\log_{2} 3 > \log_{4} 5$

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6. 若 $α \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + \cos α}{1 - \cos α}} - \sqrt{\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{tan α}$ B、 $- \frac{2}{tan α}$ C、 $\frac{1}{tan α}$ D、 $\frac{2}{tan α}$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |{log}_{3} x| ， 0 < x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + \frac{23}{2} ， x > 3 \end{cases}$ ，若 $a < b < c < d$ ， $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $a b (c + d) =$ （）

A、25 B、20 C、10 D、5

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8. 已知 $a > 0, b > 0$ ，函数 $f (x) = (x - a - b) ln (x - a b + 4)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则（）

A、 $a b$ 的最小值为8； B、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为2； C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $3 + 4 \sqrt{2}$ ； D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a x + c < 0$ 的解集为 $\{x |x < 3\}$ C、 $8 a + 4 b + 3 c < 0$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < \frac{1}{3}\}$

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10. 下列结论中正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in R, \sin x \geq - 1$ ”的否定是“ $\exists x \in R, \sin x < - 1$ ” B、函数 $f (x) = a^{x - 2} - 3 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象必过定点 $(2, - 2)$ C、若某扇形的周长为 $6cm$ ，面积为 ${2cm}^{2}$ ，圆心角 $α (0 < α < π)$ ，则 $α = 1$ D、函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2 x)$ 的单调增区间 $(- \infty, 1)$

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11. 已知函数 $f (x) = a {(\frac{1}{2})}^{|x|} + b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交.则（）

A、 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = 2 {(\frac{1}{2})}^{| x |} - 2$ B、若 $f ({log}_{m} \frac{1}{2}) < f (- 1)$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ），则实数 $m$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}) \cup (2, + \infty)$ C、函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的零点为1， $- 1$ D、方程 $f^{2} (x) - 2 m f (x) + 1 = 0$ 有四个不同的实数根，求 $m$ 的取值范围为 $(1, \frac{5}{4})$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $\sin (- \frac{π}{6}) - \tan 495^{\circ} =$ .

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13. 如图，在Rt $△ P O B$ 中， $∠ P B O = 90 °$ ，以 $O$ 为圆心、 $O B$ 为半径作圆弧交 $O P$ 于 $A$ 点，若圆弧 $A B$ 分 $△ P O B$ 的面积为 $1 : 2$ (扇形部分是2份)，且 $∠ A O B = α$ 弧度，则 $\frac{α}{\tan α} =$ ．

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14. 已知实数x，y满足 $e^{x + 1} + x = \frac{3}{2}$ ， $\frac{1}{2} y^{2} + \ln y = \frac{5}{4}$ ，则 $\frac{e^{x}}{y^{2}} =$ .

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点 $P$ ，点 $P$ 的横坐标为 $- \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $\frac{cos θ + 3 sin θ}{3 sin θ - cos θ}$ 的值．

(2)、若将射线 $O P$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ ，得到角 $α$ ，求 ${sin}^{2} α - sin α cos α - {cos}^{2} α$ 的值．

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16. 计算下列各式的值：

(1)、 $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) (\log_{3} 2 + \log_{9} 2) + \log_{3} \sqrt[4]{27} - 2^{\log_{2} 5}$

(2)、设 $\log_{3} 2 = a$ ， $\log_{3} 5 = b$ ，用a，b表示 $\log_{15} 20$ ；

(3)、已知 $9^{m} = 8^{n} = 24$ ，试求 $\frac{1}{2 m} + \frac{1}{n}$ 的值.

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17. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A． $y = k x + b (k > 0)$ ；B． $y = k \cdot {1.5}^{x} + b (k > 0)$ ；C． $y = k \log_{2} (\frac{x}{15} + 2) + n (k > 0)$ ．

(1)、请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；

(2)、根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？

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18. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x + 1}}{2^{x} + 1}$ 是奇函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性定义证明；

(3)、若存在 $x > 0$ ，使得关于x的不等式 $f (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + f (- k x - \frac{k}{x}) > 0$ 能成立，求实数k的取值范围．

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19. 我们知道函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、由上述信息，若 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形，证明： $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，写出 $f (x)$ 图象的对称中心，并求 $f (- 2022) + f (- 2021) + \dots + f (0) + f (1) + f (2) + \dots + f (2023) + f (2024)$ 的值.

(3)、若函数 $f (x)$ 具有以下性质：
①定义域为 $D = [- 2, 2]$ ，
② $f (x)$ 在其定义域内单调递增，
③ $\forall x \in D$ ，都有 $f (x) + f (- x) = 4$ .
函数 $g (x) = f (x) + x^{3}$ ，求使不等式 $g (k) + g (k + 2) \geq 4$ 成立的实数 $k$ 的取值范围.

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