甘肃省陇南市西和县部分学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2025-12-29 类型：月考试卷

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一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 15 < 0\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 3, 3)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(2, 5)$

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2. 设 $(2 + i) x = 4 - y i$ ，其中 $x, y$ 是实数，则 $|x + y i| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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3. 某单位100名男员工的体重（单位： $kg$ ）（体重均在 $[55, 80)$ 内）经测量整理如下表所示.
体重
$[55, 60)$
$[60, 65)$
$[65, 70)$
$[70, 75)$
$[75, 80)$
频数
15
35
32
15
3
根据表中数据，下列结论正确的是（）

A、这100名男员工的体重的中位数大于 $65.5 kg$ B、这100名男员工中体重不低于 $70 kg$ 的员工占比超过20% C、这100名男员工的体重的极差介于 $25 kg$ 至 $30 kg$ 之间 D、这100名男员工的体重的平均值介于 $62.8 kg$ 至 $67 .8kg$ 之间

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4. 从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{5}{21}$ D、 $\frac{5}{42}$

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5. 已知 $a = \log_{0.8} 2.6, b = {2.6}^{0.9}, c = {0.8}^{0.9}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a ＞ b ＞ c$ B、 $c ＞ a ＞ b$ C、 $b ＞ c ＞ a$ D、 $c ＞ b ＞ a$

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6. 已知函数 $f (x) = \cos (2 ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为T，若 $f (T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则函数 $y = \sin (x - 6 φ) + \sin (2 x + 3 φ)$ 的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{9}{8}$ C、2 D、 $\frac{9}{8}$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，若函数 $f (x)$ 在区间 $(- a, a)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $(0, \frac{π}{3}]$ C、 $(0, \frac{2 π}{3}]$ D、 $(0, \frac{5 π}{6}]$

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8. 我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为 $Ω$ ．若函数簇 $Ω$ 中的每一个函数都存在极小值点 $x_{0}$ ，且当参数k变化时，由所有的点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 构成一条曲线 $y = g (x)$ ，则称函数簇 $Ω$ 存在包络函数 $g (x)$ ．已知函数簇 $Ω =$ { $f_{k} (x)| f_{k} (x) = e^{x} - \frac{1}{2} k x^{2}$ ，其中k为参数}，若“ $k \in M$ ”是“ $Ω$ 存在包络函数 $g (x)$ ”的充要条件，则 $M =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (e, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分.

9. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 32, S_{6} = 72$ ，则（）

A、 $d = 4$ B、 $a_{5} = 16$ C、 $S_{5} = 52$ D、 $\frac{S_{n}}{n^{2}} = 2$

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10. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x {(x - 3)}^{2}, x \geq 0, \\ x^{3} + 3 x^{2} + 3 x, x < 0, \end{array}$ 则下列结论正确的有（）

A、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、 $x = 3$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 恰有两个零点 D、当 $1 \leq a \leq 4$ ，若 $0 \leq x \leq a$ ，则 $0 \leq f (x) \leq 4$

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11. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，右焦点为 $F$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $D$ 为 $C$ 上不同于 $P, Q$ 的一点，记直线 $D P, D Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ F P Q$ 面积的取值范围为 $(0, \sqrt{3})$ C、 $k_{1} k_{2} = \frac{3}{4}$ D、若点 $M$ 为 $C$ 上的动点，则 $|O M| + 2 |M F|$ 的最大值为8

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三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.

12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为.

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13. 已知实数 $a, b$ 满足 $a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1$ ，若 $a^{b} = b^{a}$ ，且 $\frac{a}{b} + \frac{\ln a}{\ln b} = 6$ ，则 $\frac{a}{b} =$ .

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14. 山城小汤圆是传统小吃的代表之一，以糯米为皮，常用红豆、豆沙、芝麻等馅料，一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个，其中红豆、豆沙汤圆各 3 个，芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆，在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为.

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四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组： $[20, 40)$ ， $[40, 60)$ ， $[60, 80)$ ， $[80, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)、从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)、若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

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16. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - k n, a_{5} = 7$ .数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $b_{1} = a_{2}, b_{4} (a_{2} + a_{5}) = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求满足 $T_{n} > \frac{63}{32}$ 的最小的正整数 $n$ 的值.

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17. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - m \sin x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上恰有2个零点，求m的取值范围；

(3)、若 $m > 0, n < 0, g (x) = f (x) + n x + \sqrt{2} m$ ， $x_{0}$ 是 $g (x)$ 的极值点，求证： $g (x_{0}) + n \ln 2 \geq n \ln (- n)$ ．

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， P为椭圆上一点， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为2．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若直线 $l : x = m y - 2$ 与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线 $B C$ 过定点；

(3)、若曲线 $y = t e^{x} (t > 0)$ 与椭圆交于M，N两点，直线 $M N$ 的斜率为k，证明： $0 < k < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（参考公式： $\forall x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $e^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} < \frac{e^{x_{1}} - e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} < \frac{e^{x_{1}} + e^{x_{2}}}{2}$ 成立）

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体重	$[55, 60)$	$[60, 65)$	$[65, 70)$	$[70, 75)$	$[75, 80)$
频数	15	35	32	15	3

甘肃省陇南市西和县部分学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

一、选择题:本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的.

二、多项选择题:本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分， 部分选对得部分分， 有错选的得 0 分.

三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.

四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分.

四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.