北京市第一七一中学2026届高三上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2025-12-22 类型：月考试卷

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一、单选题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 若集合 $A = {x | x^{2} + 2 x < 0}$ ， $B = {x | | x | > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < - 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 0}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 i}$ （其中i是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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3. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sin a > \sin b$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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4. 已知直线 $l : a x + b y = 1$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的一条对称轴，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*}), S_{n}$ 为其前n项和.若 $a_{2} = 2$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、20 B、30 C、31 D、62

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} - a, x > 0, \\ - x, x < 0. \end{array}$ 若 $y = f (x)$ 的图象上存在两个点 $A, B$ 关于原点对称，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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7. 已知 $△ A B C$ ，则“ $\sin A = \cos B$ ”是“ $△ A B C$ 是直角三角形”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为 $V_{0}$ ，经过 $t$ 天后体积 $V$ 与天数 $t$ 的关系式为 $V = V_{0} e^{- k t}$ ．若新樟脑丸经过 $50$ 天后，体积变为 $\frac{4}{9} V_{0}$ ，则 $k$ 约为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ， $\ln 3 \approx 1.0986$ ）

A、 $0.0162$ B、 $0. 2132$ C、 $0.3012$ D、 $0.5160$

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9. 已知M为 $△ A B C$ 所在平面内的一点， $| \vec{M B} | = | \vec{M C} | = 1$ ，且 $\vec{A B} = \vec{M B} + \vec{M C}, \vec{M B} \cdot \vec{M C} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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10. 在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $E$ 为棱 $D C$ 上的动点， $F$ 为线段 $B^{'} E$ 的中点.给出下列四个
① $B^{'} E ⊥ A D^{'}$ ；
②直线 $D^{'} F$ 与平面 $A B B^{'} A^{'}$ 所成角不变；
③点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离不变；
④点 $F$ 到 $A, D, D^{'}, A^{'}$ 四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（）

A、②③ B、③④ C、①③④ D、①②④

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线方程是 $5 x - 2 y = 0$ ，则 $m =$ ．

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12. ${(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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13. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为.

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14. 斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是.

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15. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”.则下列有关说法中：

①函数 $f (x) = sin x + 1$ 是圆 $O : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的一个太极函数；
②对于圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
③存在圆 $O$ ，使得 $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ 是圆 $O$ 的一个太极函数；
④函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = k \cdot (|x - \frac{1}{2}| - \frac{1}{2})$ ，若 $f (x)$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的太极函数，则 $k \in (- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ .
所有正确的是.

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 在 $△ A B C$ 中， $a = 1$ ， $c \sin A = \sqrt{3} a \cos C$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断 $△ A B C$ 是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出 $△ A B C$ 的面积.条件①： $\cos A \cos C = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ；条件②： $b^{2} - c^{2} = a c$ ；条件③： $a, b, c$ 成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A C C_{1} A_{1}$ 均为矩形，点D是棱 $C_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A B_{1} ∥$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ．
（Ⅰ）求直线 $A B_{1}$ 到平面 $A_{1} D C$ 的距离；
（Ⅱ）在棱 $C C_{1}$ 上是否存在点M，使得直线 $A M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，如果存在，求出 $\frac{C M}{C C_{1}}$ 的值，如果不存在，说明理由．

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18. 某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记 $X$ 表示这3人中老年人的人数，求 $X$ 的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程

(2)、若过椭圆右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，求 $| A F_{1} | + |B F_{2}|$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 存在极值；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, + \infty)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围.

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21. 设正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ a_{n} +3, a_{n} 为奇数 \end{matrix}$ $(n = 1, 2, ......)$ ．

(1)、若 $a_{5} = 1$ ，请写出 $a_{1}$ 所有可能的取值；

(2)、记集合 $M = \{a_{n} | n \in N^{*}\}$ ，证明：若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，则 $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为周期数列，求 $a_{1}$ 所有可能的取值.

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满意度	老年人		中年人		青年人
满意度	报团游	自助游	报团游	自助游	报团游	自助游
满意	12	1	18	4	15	6
一般	2	1	6	4	4	12
不满意	1	1	6	2	3	2