广东省广州市部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

试卷更新日期：2025-12-21 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 符合递推关系式 $a_{n} = \sqrt{3} a_{n - 1}$ 的数列是（）．

A、 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ B、 $1$ ， $\sqrt{3}$ ， $3$ ， $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ ， $3$ ， $\sqrt{3}$ ， $3$ D、 $0$ ， $\sqrt{3}$ ， $3$ ， $3 \sqrt{3}$

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2. 已知复数z满足 $| z - (2 + i) | = 3$ ，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（　　）

A、线段 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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3. 已知过点 $P (0, 1)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\vec{n} = (- 1, 1)$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + y + 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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4. 设 $A, B$ 是两个相互独立的随机事件，已知 $P (A) = \frac{3}{5}, P (A + B) = \frac{13}{15}$ ，则 $P (B) =$ （）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，既常用函数图象来研究函数的基本性质，也常用函数的基本性质来研究函数图象的特征.则函数 $y = \frac{e x}{x^{2} + e}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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7. 已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 6 = 0$ 上的动点，则下面说法正确的是（）

A、圆的半径为2 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$ C、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 2 x_{0} + 3$ 的最小值为 $16 - \sqrt{2}$ D、 $x_{0} + y_{0}$ 的最大值为5

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8. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a ＞ 0, b ＞ 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，若 $E$ 上点 $A$ 满足 $|A F_{1}| = 2 |A F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的取值范围为 $[\frac{2 π}{3}, π]$ ，则 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3}, \sqrt{5}]$ B、 $[\sqrt{7}, 3]$ C、 $[3, 5]$ D、 $[7, 9]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.

9. 设函数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x}$ ，则（）

A、 $f (π - x) = - f (x)$ B、 $f (π + x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右两个焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其中 $| F_{1} F_{2} | = 2 c (c > 0)$ ，直线 $l$ 经过左焦点 $F_{1}$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列说法中正确的（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为 $4 a$ B、当直线 $A B$ 的斜率存在时，记 $k_{A B} = k (k \neq 0)$ ，若 $A B$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点，则 $k_{O M} \cdot k = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 3 c^{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{1}{2}]$ D、若 $|A B|$ 的最小值为 $3 c$ ，则椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$

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11. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，底面 $C D E F$ 是边长为 $2$ 的正方形， $A E = A F = B D = B C$ ， $A B / /$ 平面 $C D E F$ ， $A B = 1$ ， $A B$ 到底面的距离为 $\sqrt{2}$ ，点 $S$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 在四边形 $C D E F$ 内部（含边界）.则下列选项中正确的是（）

A、该五面体的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、存在点 $P$ ，使得 $S P / /$ 平面 $A B D E$ C、存在点 $P$ ，使得 $A P + B P = \frac{\sqrt{35}}{2}$ D、若 $B P = \frac{3}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 3, x < 0 \\ \log_{2} x, x \geq 0 \end{cases}$ ，则 $f [f (- \frac{1}{2})]$ 的值等于．

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13. 正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} = 1$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{4}{a_{6}}$ 的最小值为．

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14. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $E$ ，若 $A$ 为 $C$ 上一点， $∠ A F E$ 为钝角，且 $\frac{|A F|}{|A E|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $|A F| =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $C D$ 的中点，记 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ， $\vec{B B_{1}} = \vec{c}$ ，满足 $∠ B_{1} B C = ∠ B_{1} B A = \frac{π}{3}$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ， $|A B| = |B C| = 2$ ， $|B B_{1}| = 3$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{F E}$ ，并求 $E F$ 的长度；

(2)、求直线 $A C$ 与 $E F$ 所成角的余弦值.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{5}, 0), F_{2} (\sqrt{5}, 0), ||M F_{1}| - |M F_{2}|| = 4$ ，动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = - \frac{3}{4} x + t$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{11}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知 $2 a + b = 2 c \cos B$ ．
（1）求角C；
（2）若CD是角C的平分线， $A D = 2 \sqrt{7}$ ， $D B = \sqrt{7}$ ，求CD的长．

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18. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ， E是 $C D$ 的中点， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 和平面 $P B E$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求点D到平面 $P B E$ 的距离.

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19. 通过研究，已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P，

(1)、已知平面内点 $A (- \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ ，点 $B (\sqrt{3}, - 2 \sqrt{3})$ ，把点B绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到点P，求点P的坐标：

(2)、已知二次方程 $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 $Q (\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}})$ 作与两坐标轴都不平行的直线 $l_{1}$ 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1}$ 垂直，直线 $l_{2}$ 交斜椭圆C于点G、H，判断 $\frac{\sqrt{2}}{|M N|} + \frac{1}{{|O H|}^{2}}$ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

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