湖南省长沙市天心区长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2025-12-23 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 4\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

查看试题解析
2. 命题“ $\forall x \in R, |x| + 1 \geq 1$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R, |x| + 1 < 1$ B、 $\forall x \in R, |x| + 1 \leq 1$ C、 $\exists x \in R, |x| + 1 \geq 1$ D、 $\exists x \in R, |x| + 1 < 1$

查看试题解析
3. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + x + 3)$ 的定义域为（）

A、 $（ - \infty, - 1)$ B、 $(- 1, \frac{3}{2})$ C、 $（ \frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $（ - \infty, - 1) \cup$ $（ \frac{3}{2}, + \infty)$

查看试题解析
5. 已知 $a, b \in R$ ，那么 $\log_{2} a > \log_{2} b$ 是 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上是增函数， $y = f (x + 2)$ 关于y轴对称，若 $f (t) - f (3 - 2 t) > 0$ 成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

查看试题解析
7. 若实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $2^{x} - 2 = 5^{y} - 5 = 7^{z} - 7$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系不可能是（）

A、 $x = y = z$ B、 $z > x > y$ C、 $z > y > x$ D、 $x > y > z$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = x |x - \frac{a^{2}}{x}| - 2 a^{2} x$ ，若当 $1 < x < 2$ 时， $f (x) < 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $（ - \infty, - \frac{2 \sqrt{5}}{5}] \cup [\frac{2 \sqrt{5}}{5}, + \infty)$ B、 $（ - \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}]$

查看试题解析

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中，正确的是（）

A、若 $m^{2} > n^{2}$ ，则 $| m | > | n |$ B、若 $m > n > 0, t > 0$ ，则 $\frac{m + t}{n + t} > \frac{m}{n}$ C、若 $\frac{m}{k^{2}} < \frac{n}{k^{2}}$ ，则 $m < n$ D、若 $m > n, k > t$ ，则 $m + k > n + t$

查看试题解析
10. 已知实数 $a, b$ 都是正数，且满足 $a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + 2 b^{2}$ 的最小值 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{a b}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的非常数函数， $g (0) = 1$ .且对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) g (y) + f (y) g (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、若 $g (x)$ 为非零函数，则 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 为奇函数 C、若 $g (x) = e^{x}$ ，则 $f (4) = 4 e^{3} f (- 1)$ D、若 $f (x)$ 为奇函数且在 $R$ 上单调递增，则 $g (x) > 0$ 对任意 $x \in R$ 成立

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $f (4) =$ .

查看试题解析
13. 计算： $\log_{3} 18 - \log_{3} 2 + \log_{3} 2 \cdot \log_{2} 9$ $=$ .

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\ln x - 1|, x > 0 \end{cases}$ ，若关于x的方程 $a {[f (x)]}^{2} - (3 a + 1) f (x) + 5 = 0$ 有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x| a - 1 < x \leq 2 a\}, B = \{x| x^{2} + x - 6 \geq 0\}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B, A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq ∁_{R} B$ ，求实数a的取值范围.

查看试题解析
16. 已知关于 $x$ 的不等式 $(m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 1 > 0, m \in R$ .

(1)、若不等式的解集为 $\{x| - 3 < x < 1\}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若不等式对任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为 $f (x)$ ，双曲余弦函数为 $g (x)$ ，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = e^{x}$ (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：

(1)、求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)、设函数 $h (x) = g (2 x) - 2 a g (x) + a^{2} + 2$ ，若 $h (x)$ 在R上的最小值为6，求实数a的值.

查看试题解析
18. 已知 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ，且 $f (x) \geq 0$ 恒成立，当 $x = 0$ 时等号成立， $g (x) = \ln x - x + 1$ .

(1)、证明： $g (x) \leq 0$ ，并说明取等号的条件；

(2)、证明， $\ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n}, n \in N^{*}$ ；

(3)、已知 $x_{1}$ 满足 $f (x_{1}) + 2 x_{1} + 1 = 6$ ， $x_{2}$ 满足 $g (x_{2}) + 2 x_{2} - 1 = 6$ ，比较 $x_{1} + x_{2}$ 与 $e^{\ln 6.1}$ 的大小.

查看试题解析
19. 给定函数 $f (x), g (x)$ ，对于任意 $x \in R$ .函数 $M (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的最大者.记为 $M (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ .函数 $N (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的最小者.记为 $N (x) = \min \{f (x), g (x)\}$ .

(1)、用解析式表示 $M (x) = \max \{2^{x}, 2 x\}$ ，并求出 $M (x) > 3$ 的解集；

(2)、证明： $\min \{f (x), g (x)\} = \frac{f (x) + g (x) - |f (x) - g (x)|}{2}$ ；

(3)、设 $G (x) = x^{2} + (2^{b} - 1) x + b + 2 - |x^{2} - (2^{b} + 1) x - b + 2|$ ，若对任意 $x_{1} \in [1, 3]$ .都有 $G (x_{1}) \geq 2$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

查看试题解析