天津市西青区杨柳青第一中学2026届高三第三次质量检测（12月月考）数学试题

试卷更新日期：2025-12-15 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上.

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | - 1 < x < 4\}$ ， $B = \{x | y = ln (x - 2)\}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $R$

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2. 设 $α$ ， $β \in R$ ，则“ $\sin α = \sin β$ ”是“ $α + β = π$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x$ 在 $[- π, π]$ 上的图象是

A、 B、 C、 D、

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4. 下列结论中错误的是（）

A、在回归模型中，决定系数 $R^{2}$ 越大，则回归拟合的效果越好 B、样本数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{9} + 1$ 的方差为8，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{9}$ 的方差为2 C、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.6$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ D、具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，其经验回归方程为 $\hat{y} = 0.4 x - m$ ，若样本点中心为 $(m, 3)$ ，则 $m = - 5$

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5. 函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 零点所在的大致区间为 $(n, n + 1) (n \in N^{*})$ ，则 $n$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、底边和腰不相等的等腰三角形 D、等边三角形

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，离心率为 $2$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1, m)$ 到其焦点的距离为 $4$ .若双曲线的一条渐近线与直线 $A M$ 平行，则双曲线的方程为( )

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，其图象距离 $y$ 轴最近的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{12}$ ，最近的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6}, 0)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象在区间 $[- \frac{11 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 内有 $2$ 个对称中心 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = 2 sin 2 x$ 的图象

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9. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 3 C D$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 30 °$ .若梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（）

A、 $38 π$ B、 $48 π$ C、 $128 π$ D、 $208 π$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.

10. $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} = 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ .

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11. $(x + y) \cdot {(x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + a = 0$ 相交，且它们的公共弦的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $a$ 的值为.

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13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱有5个红球､5个白球，乙箱中有4个红球､6个白球.先从甲箱中随机摸出1个球放入乙箱中，再从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为；若从甲箱中随机摸出3个球，用 $X$ 表示摸出红球的个数，则随机变量 $X$ 的数学期望为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ､ $F$ 分别为 $B C$ ､ $A C$ 中点， $A D$ 与 $B F$ 相交于点 $P$ ，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ .记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B P} =$ ；若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{E D} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 \sqrt{x - a} - x + 1, x \geq 2 \\ |x - a| - x - 1, x < 2 \end{cases}$ ，若函数 $f (x)$ 恰好有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $\sqrt{2} cos C (a cos B + b cos A) + c = 0$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、当 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ 时，
（i）求边长 $c$ ；
（ii）求 $sin (2 B + C)$ 的值.

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D / / Q A$ ， $P D ⊥ A D$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ .

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $P C B$ 与平面 $P B Q$ 夹角的正弦值；

(3)、已知点 $H$ 在棱 $P D$ 上，且异面直线 $A H$ 与 $P B$ 所成角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{15}$ ，求线段 $D H$ 的长.

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ， $△ A B F$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知点 $R$ 的坐标为 $(4, 0)$ ， $M$ ， $N$ 是直线 $x = 4$ 上的两点（ $M$ 在 $x$ 轴上方， $N$ 在 $x$ 轴下方），直线 $A M$ ， $A N$ 与椭圆分别交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $P$ ， $F$ ， $Q$ 三点共线，求证： $∠ M F R = ∠ F N R$ .

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19. 已知 $\{a_{n}\}$ 是公差大于0的等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} + 1$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{8}$ 的等比中项. $\{b_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列， $b_{1} = 2$ ， $b_{3} - b_{2} = 4$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n + 2}, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{2 n} \frac{a_{i}^{{(- 1)}^{i}}}{c_{i}}$ ；

(3)、记 $d_{m}$ 为 $\{b_{n}\}$ 在区间 $(0, m] (m \in N^{*})$ 中的项的个数，求数列 $\{d_{m}\}$ 的前100项和.

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20. 已知函数 $f (x) = m (1 - x) - ln x - 1$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq - 1$ ，求 $m$ 的值；

(3)、当 $m > 1$ 时，证明： $g (x) = f (x) + x e^{x} - m$ 有2个零点．

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