广东省领航高中联盟2025-2026学年高一上学期12月检测数学试题

试卷更新日期：2025-12-15 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设命题 $p : \exists x > 0$ ， $x^{3} > x^{2} + 2$ ，则 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{3} \leq x^{2} + 2$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{3} > x^{2} + 2$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{3} \geq x^{2} + 2$ D、 $\exists x > 0$ ， $x^{3} \leq x^{2} + 2$

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2. 设集合 $A = \{x |x^{2} \leq 3\}$ ， $B = A \cap N$ ，则 $B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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3. 设甲： $\ln x^{2} > 0$ ，乙： $(x + 2) (x - 3) > 0$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x + 1, x < 0, \\ x + b, x > 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $a - b =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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5. 若 $\forall x > 0$ ， ${(t - 4)}^{2} < x$ ，则实数 $t =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 函数 $f (x) = e^{2} x + \ln x$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0, \frac{1}{e^{3}})$ B、 $(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}})$ C、 $(\frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e}, 1)$

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7. 不等式 $\frac{2 x + 1}{2026 x - |x|} > 0$ 的解集为（）

A、{ $x | x > - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 0$ } B、{ $x | x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > 0$ } C、 $\{x |x < - \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 0\}$

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8. 记 $a = \lg 2 + \ln 3$ ， $b = \lg a + \ln (a + 1)$ ，则（）

A、 $b < a < a + b$ B、 $a < b < a + b$ C、 $a + b < b < a$ D、 $a + b < a < b$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知集合 $A = {x |2 < x < 4}$ ， $B = {x ||x - 2| < 2}$ ，则（）

A、 $3 \in A$ B、 $B = {x |0 < x < 4}$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \cup ∁_{R} B = R$

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10. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x + b$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象如图所示，则（）

A、 $a > 1$ B、 $b < 0$ C、 $a^{b} < \frac{1}{3}$ D、当 $a > 3$ 时， $a + b > 2$

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11. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m + n} + n^{2}$ 是幂函数，则下列说法正确的有（）

A、若 $f (x)$ 在 $x = n$ 处有意义，则 $f (n) < m - 2$ B、对任意非零实数 $x$ ， $y$ 有 $f (x y) = f (x) f (y)$ C、若 $f (x)$ 是增函数，则 $f (m) < 25$ D、若 $f (x)$ 的定义域不为 $R$ ，点 $(p, q)$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，则 $p^{2} + q^{2} \geq 2$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $a \in (1, 4)$ ， $b \in (- 1, 2)$ ，则 $a + 2 b$ 的取值范围是.

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13. 算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模 $N$ 呈指数型增长.记最终所需算力为 $L$ ，由硬件导致的规模系数为 $r$ （可视为常数），则有 $L = 2^{r N}$ .当输入规模 $N$ 增加1时，所需算力 $L$ 变为原来的4倍，则 $r =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - 3 a \cdot 2^{x} + a$ ，则曲线 $y = f (x)$ 恒过定点的坐标为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. （1）若 $2^{\frac{3 + \lg a}{3 - \lg a}} = 4$ ，求 $a$ 的值；
（2）计算 $\frac{\log_{4} \sqrt{2026}}{\log_{256} 2026}$ 的值.

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16. 记集合 $A = \{x |m \leq x \leq m^{2}\}$ ， $B = {y |- 2 < y \leq 9}$ .

(1)、若 $A \neq \emptyset$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $A \underset{\neq}{\subset} B$ ，求 $m$ 的取值范围.

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17. 正数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b = 4$ .

(1)、求 $a^{2} b$ 的最大值；

(2)、求 $a^{4} + a^{2} b + b^{2}$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a - b$ .

(1)、当 $a = b = 2$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值；

(2)、若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $b$ 的最大值，并求当 $b$ 取得最大值时 $f (b)$ 的值；

(3)、若 $\exists t \in [1, 3]$ ，使得 $f (t) = - b$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 设函数 $f (x) = \log_{a} (b^{x} - b - 1)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ .

(1)、当 $b = 2$ 时，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a = b$ 时，利用定义法证明： $f (x)$ 在定义域内单调递增；

(3)、若存在 $x \in (0, 2)$ ，使得 $f (x) = 0$ ，证明： $b > 2$ .

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