2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末测试模拟题一[范围：九年级全册]

试卷更新日期：2025-12-27 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 关于x的方程 $x^{2} - x + k^{2} + 2 = 0$ 根的情况为（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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2. 已知点（﹣2，y₁），（3，y₂），（7，y₃）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）²+c的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是（　　）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₁＞y₃＞y₂ C、y₂＞y₁＞y₃ D、y₃＞y₂＞y₁

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3. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $B C$ ， $A D$ 上．连接 $M N$ ，将四边形 $C M N D$ 沿 $M N$ 翻折，点 $C$ ， $D$ 分别落在点 $A$ ， $E$ 处．则 $tan ∠ A M N$ 的值是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 如图， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，点B，D在 $⊙ O$ 上， $∠ A B D = 60 °$ ， $C D = 2$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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5. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若 $B P = B C$ ，则 $t a n ∠ C B G$ 的值是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D ，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E ，连接DE ．若△BDE的面积为 $\frac{5}{4}$ ，则k的值为（　　）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、5 D、10

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7. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，过圆心O作 $O A ⊥ C D$ 于点H，交 $⊙ O$ 于点A， $O H : H A = 3 : 2$ ，点M是 $\overset{⌢}{C B D}$ 上异于C，D的一点，连接 $C M$ ， $D M$ ，则 $s i n ∠ C M D$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 如图，已知某山峰的海拔高度为 $m$ 米，一位登山者到达海拔高度为 $n$ 米的点 $A$ 处．测得山峰顶端 $B$ 的仰角为 $α$ ．则 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离为（　　）

A、 $(m - n) s i n α$ 米 B、 $\frac{m - n}{s i n α}$ 米 C、 $(m - n) c o s α$ 米 D、 $\frac{m - n}{c o s α}$ 米

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9. 对于抛物线y＝2（x﹣1）²+3，下列说法正确的是（　　）

A、抛物线的开口向下 B、抛物线的顶点坐标为（1，3） C、抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D、当x＞﹣3时，y随x的增大而增大

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10. 在△ABC中，∠C＝90°，tanA $= \frac{1}{2}$ ， AC＝2 $\sqrt{5}$ ，则BC的长为（　　）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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11. 如图所示，正方形 $A B C D$ 与 $A E F G$ （其中边 $B C$ ， $E F$ 分别在 $x$ ， $y$ 轴的正半轴上）的公共顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，直线 $D G$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别相交于点 $M$ ， $N$ ．若这两个正方形的面积之和是 $\frac{15}{2}$ ，且 $M D = 4 G N$ ．则 $k$ 的值是（）

A、5 B、1 C、3 D、2

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a ， b ， c为常数， $a \neq 0$ )图像的顶点坐标是 $(- 1, n)$ ，且经过 $(1, 0)$ ， $(0, m)$ 两点， $3 < m < 4$ ．有下列结论：
①关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - n + 1 = 0 (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根；
②当 $x > - 1$ 时，y的值随x值的增大而减小；③ $- \frac{4}{3} < a < - 1$ ；
④ $4 a - 2 b + c > 0$ ；⑤对于任意实数t ，总有 $(t + 1) (a t - a + b) \leq 0$ ．
以上结论正确的有（　　）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为.

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14. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是.(写出一个即可)

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15. 一块梯形木板 $A B C D ， A D ∥ B C ， ∠ B C D = 9 0^{∘} ， A D = 4 ， B C = 10 ， C D = 6$ ，按如图方式设计一个矩形桌面 $E F C G$ （点 $E$ 在边 $A B$ 上）．当 $E F =$ 时，矩形桌面面积最大．

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16. 如图，在△ABC中，tanC= $\frac{1}{3}$ ， D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F若CF=5，EF=2，则AC=.

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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则 $k =$ .

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18. 如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF=.

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三、解答题（共6题，共66分）

19.

(1)、计算： $2 \tan 60 ° - \sqrt{12} - {(\sqrt{3} - 2)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

(2)、解方程：x²-2x-1=0

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20. 如图，直线 $y = k x + b$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 交于 $A (- 2, 6)$ ， $B (- 6, a)$ 两点．

(1)、求 $m$ 和直线的表达式；

(2)、根据函数图象直接写出不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集；

(3)、求△ $A B O$ 的面积．

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21. 如图，点A ， B ， C ， D在⊙O上，BD是直径， $∠ B A C = 45 °$ ，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.

(1)、求证：CE是⊙O的切线.

(2)、若 $B D = 4 ∠ A B D = 2$ ，求图中阴影部分的面积.

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22. 四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）、△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上.

(1)、如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由：

(2)、如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由.

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23. 综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ ， $M N = 0.2$ 米， $M Q = 1.6$ 米，雨伞撑开的宽度 $A C = 1$ 米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点， $O G ⊥ A C$ ，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为 $θ$ ，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．

(1)、【问题感知】
①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是米；
②如图（1）所示， $θ = 72 °$ ，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 $P K =$ 米．（参考数据： $s i n 72 ° \approx 0.95$ ， $c o s 72 ° \approx 0.31$ ， $t a n 72 ° \approx 3.08$ ）

(2)、【问题探究】
如图（2）所示， $θ = 60 °$ ，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．

(3)、【问题解决】
在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．

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24. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ 、点 $B (5 ， 0)$ ，交y轴于点C ．

(1)、求b ， c的值．

(2)、点 $P (x_{0} ， y_{0}) (0 < x_{0} < 5)$ 是抛物线上的动点
①当 $x_{0}$ 取何值时， $△ P B C$ 的面积最大？并求出 $△ P B C$ 面积的最大值；
②过点P作 $P E ⊥ x$ 轴，交 $B C$ 于点E ，再过点P作 $P F ∥ x$ 轴，交抛物线于点F ，连接 $E F$ ，问：是否存在点P ，使 $△ P E F$ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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