人教版数学九年级上册重难点复习6：全册知识整合与压轴题突破（含下册知识点）

试卷更新日期：2025-12-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在直角坐标系中，以点 $A (- 4, 0)$ 为圆心，画半径 $\sqrt{2}$ 的圆，点 $P$ 为直线 $y = - x + 2$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $⊙ A$ 的切线，切点为 $T$ ，则 $P T$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中，两直角边 $O A$ 、 $O B$ 分别在 $x$ 轴的负半轴和 $y$ 轴的正半轴上， $tan ∠ B A O = 2$ ，将 $△ A O B$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A^{'} O^{'} B$ ，若反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象恰好经过斜边 $A^{'} B$ 的中点 $C$ ，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、8 B、4 C、10 D、11

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2cm$ 的正方形，点E，点F分别为边 $A D$ ， $C D$ 中点，点O为正方形的中心，连接 $O E, O F$ ，点P从点E出发沿 $E - O - F$ 运动，同时点Q从点B出发沿 $B C$ 运动，两点运动速度均为 $1cm/s$ ，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为 $t s$ ，连接 $B P, P Q$ ， $△ B P Q$ 的面积为 $S {cm}^{2}$ ，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将边 $A C$ 沿 $C E$ 翻折，使点 $A$ 落在 $A B$ 上的点 $D$ 处；再将边 $B C$ 沿 $C F$ 翻折，使点 $B$ 落在 $C D$ 的延长线上的点 $B^{'}$ 处，两条折痕与斜边 $A B$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ，且 $D E = 3 ， C E = 4$ 则线段 $B^{'} F$ 的长为（　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 如图，一张等腰直角三角形 $A B C$ 纸片，已知 $A B = B C = 20 cm$ ，先裁剪出①号长方形 $B E D F$ ，然后在剩余的大纸片三角形 $A F D$ 中剪出②号长方形 $G H M N$ ，且满足 $H M = D E$ ，当①号长方形的面积为 $64 {cm}^{2}$ 时，则②号长方形的面积为（）

A、 $60 {cm}^{2}$ B、 $64 {cm}^{2}$ C、 $(64 \sqrt{2} - 32) {cm}^{2}$ D、 $(32 \sqrt{2} - 8) {cm}^{2}$

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6. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 $h = 20 t - 5 t^{2}$ ．下列说法正确的是（）

A、小球飞行 $1 s$ 时飞行高度为 $10 m$ B、小球飞行高度为 $15 m$ 时，小球飞行的时间是 $3 s$ C、小球飞行的最大高度达到 $25 m$ D、小球从飞出到落地要用 $4 s$

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7. 矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8 cm ， A B = 6 cm$ ．动点E从点C开始沿边 $C B$ 向点B以 $2 cm / s$ 的速度运动，同时动点F从点C出发沿边 $C D$ 向点D以 $1cm / s$ 的速度运动至点D停止．如图可得到矩形 $C F H E$ ，设运动时间为x（单位： $s$ ），此时矩形 $A B C D$ 去掉矩形 $C F H E$ 后剩余部分的面积为y（单位： ${cm}^{2}$ ），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，点I为 $△ A B C$ 的内心，若 $∠ B I O = 2 ∠ A I O$ ， $I O = 1$ ，则 $A O$ 的长是（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $h$ （单位： $m$ ）与小球的运动时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系式是 $h = 30 t - 5 t^{2} (0 \leq t \leq 6)$ ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 $6 s$ ；
②小球运动中的高度可以是 $30 m$ ；
③小球运动 $2 s$ 时的高度小于运动 $5 s$ 时的高度．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 如图（1）是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示意图如图（2）．设碾轮中心轴的截面图圆心为 $G$ ，当碾轮经过碾槽最低点 $E$ 时， $⊙ G$ 恰好与 $B C$ 相切于点 $F$ ，并且此时切点 $F$ 与点 $E$ 的距离刚好为 $(4 \sqrt{3} - 4) cm$ ，若 $\overset{⌢}{B C}$ 所在圆半径为 $r$ ，且 $\overset{⌢}{B C}$ 的长度为 $\frac{π}{3} r$ ，则点 $B$ ， $C$ 间的距离大约是（）cm.（结果精确到 $0.1 cm$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）．

A、19.4 B、20.6 C、21.8 D、22.0

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二、填空题

11. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $A C$ 的中点，点F在 $B D$ 上，连接 $A F$ 并延长交 $B C$ 于点E，若 $B F : F D = 3 : 1$ ， $B C = 8$ ，则 $C E$ 的长为．

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12. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 旋转至矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，此时 $A C^{'}$ 的中点恰好与 $D$ 点重合．若 $B^{'} C^{'} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A B^{'}$ 的长为．

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13. 若直线 $y = - x + 5$ 与抛物线 $y = - {(x - 2)}^{2} + k (0 \leq x \leq 4)$ ，有且只有一个公共点，则k的取值范围为．

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $B C = 2$ ，以A为圆心 $A C$ 长为半径作圆A，延长 $C B$ 交圆A于点D，则 $B D$ 长为．

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15. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax²＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am²＋bm＋c≥﹣6；②ac＞0；③若点（ $- \frac{5}{2}, y_{1}$ ），（ $- \frac{3}{2}$ ， y₂）在抛物线上，则y₁＞y₂；④关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有（填序号）．

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16. 如图，平面直角坐标系中， $A (0, \sqrt{2}) ， B (\sqrt{2}, 0) ， C (- 3, 0)$ ， $△ A O B$ 绕点 $O$ 旋转后得到 $△ A^{'} O B^{'}$ ， $A^{'} B^{'}$ 所在直线与半径为 $1$ 的 $⊙ C$ 相切于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ，则 $M N$ 的长为．

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17. 如图，在 $Rt △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $O$ 为 $A B$ 边上一点且 $O B = 8$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上的动点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为 $E, F$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ，则四边形 $D E O F$ 面积的最小值是．

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18. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于 $NBA$ 金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录：
罚球总数
400
1000
1600
2000
2887
命中次数
348
893
1432
1802
2617
罚球命中率
0.87
0.893
0.895
0.901
0.906
根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为（精确到0.1）

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ， D为 $B C$ 边（端点除外）上的动点，将线段 $D A$ 绕点D逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $D E$ ，连接 $A E$ ， $C E$ ，则 $△ A C E$ 周长的最小值是．

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20. 如图， $△ A B D$ 中， $∠ B A D = 120 °$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，点 $O$ 在 $B D$ 上，以A为切点， $A D$ 为切线的 $⊙ O$ 经过点A，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $∠ B C D = 150 °$ ，则 $A C$ 的长是．

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三、解答题

21. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点D．交 $B C$ 于点E．过点P作 $B C$ 的平行线，交y轴于点M．

(1)、求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线 $B C$ 的函数表达式；

(2)、在点P的运动过程中，求使四边形 $C E P M$ 为菱形时，m的值；

(3)、点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线 $P M$ 上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，顶点为 $A (2, - 1)$ 的抛物线经过点 $B (- 2, 3)$ ．设动点 $C$ 在对称轴上，纵坐标为 $t$ ，过点 $C$ 的直线 $y = k x + b$ 与抛物线交于点 $M (m, p)$ ， $N (n, q)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、用含 $k$ ， $t$ 的代数式表示 $m + n$ 与 $m n$ ；

(3)、若 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 为定值，直线 $y = k x + b$ 是否过确定的点 $C$ ？如过确定点 $C$ ，请求出点 $C$ 坐标：否则请说明理由．

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23. 如图，一次函数 $y = k x + b (k > 0)$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图像交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $C B = C D$ ，点 $C$ 关于直线 $A D$ 的对称点为点 $E$ ．

(1)、点 $E$ 是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)、连接 $A E$ 、 $D E$ ，若四边形 $A C D E$ 为正方形．
①求 $k$ 、 $b$ 的值；
②若点 $P$ 在 $y$ 轴上，当 $| P E - P B |$ 最大时，求点 $P$ 的坐标．

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，其中 $A (- 3, 0)$ ， $D (- 1, - 4)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图 $1$ ，在第三象限内抛物线上找点 $E$ ，使 $∠ O C E = ∠ O A D$ ，求点 $E$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，过抛物线对称轴上点 $P$ 的直线交抛物线于 $F$ ， $G$ 两点，线段 $F G$ 的中点是 $M$ ，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线交抛物线于点 $N$ ．若 $\frac{F G}{M N}$ 是一个定值，求点 $P$ 的坐标．

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25. 【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习：
例1矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点在以点 $O$ 为圆心的同一个圆上.
证明： $∵$ 四边形 $A B C D$ 为矩形，
$∴ O A = O C = \frac{1}{2} A C$ ， $O B = C D = \frac{1}{2} B D$ ， $A C = B D$ ，
$∴ O A = O C = O B = C D$ ，
$∴ A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个点在以点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的同一个圆上.
通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“ $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程.
【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，且 $A D = A C$ ，求 $∠ B D C$ 的度数.若以点 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作辅助 $⊙ A$ ，由 $A B = A C = A D$ 可知点 $C$ ， $D$ 必在 $⊙ A$ 上， $∠ B A C$ 是 $⊙ A$ 的圆心角，而 $∠ B D C$ 是圆周角，从而可容易得到 $∠ B D C =$ __________°.
【深入理解】（3）如图4，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C = A D$ .求证： $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ .
【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $M$ 是 $A D$ 边的中点， $N$ 是 $A B$ 边上的一动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 所在直线翻折得到 $△ A^{'} M N$ ，连接 $A^{'} C$ ，求 $A^{'} C$ 长度的最小值.

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26. 已知：二次函数 $y = a x^{2} + 4 a x + 3 a (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，
①求这个二次函数的解析式及其对称轴；
②已知点 $(m, y_{1})$ 与 $(m + 3, y_{2})$ 分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且 $y_{1} \leq y_{2}$ ，求m的取值范围；

(2)、将这个二次函数图象向右平移 $k (0 < k < 2)$ 个单位长度，若平移后的二次函数图象在 $- 2 \leq x \leq 0$ 的范围内有最大值为 $\frac{5}{4} a$ ，求k的值．

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27. 已知抛物线 $y_{1} = m x^{2} + (1 - 4 m) x + 3 m - 1$ （m为常数，且 $m \neq 0$ ）．

(1)、不论 $m$ 为何值，抛物线 $y_{1}$ 的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标；

(2)、若对于任意自变量 $x$ ，都有点 $(x, y_{1})$ 与点 $(x, y_{2})$ 分别到点 $(x, k x)$ 的距离相等，则 $y_{2}$ 与 $x$ 形成的函数称为抛物线 $y_{2}$ （异于 $y_{1}$ ）是抛物线 $y_{1}$ 的“ $k$ 倍相伴函数”．
①求抛物线 $y_{1}$ 的“2倍相伴函数”是 $y_{2}$ 的解析式；
②在①的情况下， $y_{2}$ 的图象经过两个定点 $A$ 和 $B$ （ $A$ 在 $B$ 左边），横坐标分别为 $x_{A}$ 、 $x_{B}$ ，若存在 $x_{A} \leq x \leq x_{B}$ 时， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 都随着 $x$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围．

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28. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形 $A B C D$ ，点E、F、G、H分别在边 $A B 、 B C 、 C D 、 D A$ 上，若 $E G ⊥ F H$ ，则 $E G = F H$ ． ”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作 $A M ∥ H F$ 交 $B C$ 于点M，过点B作 $B N ∥ E G$ 交 $C D$ 于点N；
方案二：过点A作 $A M ∥ H F$ 交 $B C$ 于点M，过点A作 $A N ∥ E G$ 交边 $C D$ 的延长线于点N．…

(1)、对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．

(2)、如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设 $A B = 2, B C = 3$ （如图（2）），试探究 $E G 、 F H$ 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．

(3)、如果把条件中的“ $E G ⊥ F H$ ”改为“ $E G$ 与 $F H$ 的夹角为 $45 °$ ”，并假设正方形 $A B C D$ 的边长为2， $F H$ 的长为 $\sqrt{5}$ （如图（3）），试求 $E G$ 的长度．

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29. 图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C．

(1)、直接写出点 A，B，C 的坐标；

(2)、如图1，连接 $A C$ ，点 D 在抛物线上，连接 $A D$ ，若 $∠ D A B = ∠ A C O$ ，求点 D 的坐标；

(3)、如图2，点P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点 $(0, - 4)$ ，与抛物线交于 M，N 两点，连接 $A P$ 交 $M N$ 于点 E，Q 为 $M N$ 的中点，连接 $A Q$ ，设点 P 的横坐标为m，若 $△ A E Q$ 的面积为2，求m 的值．

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30. 已知如图1，平面直角坐标系中， $O$ 为原点，经过点 $(4, - 8)$ 的抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} + b x$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A (12, 0)$ ，与直线 $l_{1} : y = - x + p$ 有两个交点 $B$ ， $C$ ，它们的横坐标为 $m$ ， $n (m < n)$ ，且 $n - m = 4$ ．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的解析式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图2，将抛物线 $C_{1}$ 的顶点平移到原点 $O$ ，得新抛物线 $L_{2}$ ，直线 $l_{2} : y = k (x + 2) + 1 (k < 0)$ 交抛物线 $L_{2}$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $E$ 横坐标小于 $- 2$ ），若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $F$ ，过点 $F$ 作 $y$ 轴平行线交抛物线 $L_{2}$ 于点 $G$ ，试说明直线 $E G$ 总经过定点，并求这个定点的坐标．

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罚球总数	400	1000	1600	2000	2887
命中次数	348	893	1432	1802	2617
罚球命中率	0.87	0.893	0.895	0.901	0.906