《代数式与整式》精选典型题——人教版七年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是洛书的数字表示相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入 $3 \times 3$ 的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中：若 $A = a$ ， $B = 2 a - 1$ ， $C = 9 a + 7$ ，整式F是（）

A、 $- 4 a + 5$ B、 $- 4 a - 5$ C、 $- 5 a - 4$ D、 $- 5 a + 4$

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2. 观察等式： $3 + 3^{2} = \frac{1}{2} (3^{3} - 3)$ ； $3 + 3^{2} + 3^{3} = \frac{1}{2} (3^{4} - 3)$ ； $3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} = \frac{1}{2} (3^{5} - 3)$ $\dots$ 已知按规律排列的一组数： $3^{100} 、 3^{101} 、 3^{102} \dots 3^{199}, 3^{200}$ ，若 $3^{100} = a$ ，用含a的式子表示这组数的和是（　　）

A、 $\frac{1}{2} (3 a^{2} - 2 a)$ B、 $\frac{1}{2} (3 a^{2} - a)$ C、 $2 a^{2} - a$ D、 $\frac{1}{2} (3 a^{2} - a - 3)$

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3. 项目式学习

项目课题	如何接到最佳温度的饮用水
素材1	如图是班级饮水机的部分示意图，饮水机的水流速度是25 $mL / s$ ；
素材2	两种温度的水混合后的水温公式： $T_{(混合)} = \frac{V_{(开水)} \times T_{(开水)} + V_{(常温水)} \times T_{(常温水)}}{V_{(开水)} + V_{_{(常温水)}}}$ （V表示体积，T表示温度），最佳饮水温度范围为 $37 ℃ ~ 42 ℃$ （包含临界值）；
素材3	准备一个 $500 mL$ 的水杯，先接常温水 $a s$ ，再接开水至水满.（接水期间不考虑溢水，不计热损失）

下列说法中：①接到常温水的体积为 $25 a mL$ ；②接到开水的体积为 $(500 - 25 a) mL$ ；③混合水的温度为 $\frac{(500 - 25 a) \times 100 + 25 a \times 25}{500} ℃$ ；④若接常温水 $14 s$ ，则该水杯接满后水的温度能达到最佳饮水温度．正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 历史上，数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号 $f (x)$ 来表示，把x等于某数a时的多项式的值用 $f (a)$ 来表示，例如 $x = - 1$ 时，多项式 $f (x) = x^{2} + 3 x - 6$ 的值记为 $f (- 1)$ ，那么 $f (- 1)$ 等于（）

A、 $- 8$ B、 $- 10$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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5. 化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，第2个结构式中有2个C和6个H，第3个结构式中有3个C和8个H，…，按照此规律，则第19个结构式中H的个数是（）

A、38 B、40 C、42 D、44

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二、填空题

6. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对 $1 \sim n$ 这 $n$ 个连续自然数中，任取两数之和大于 $n$ 的取法种数 $k$ 进行了探究．发现：当 $n = 2$ 时，只有 $\{1, 2\}$ 一种取法，即 $k = 1$ ；当 $n = 3$ 时，有 $\{1, 3\}$ 和 $\{2, 3\}$ 两种取法，即 $k = 2$ ；当 $n = 4$ 时，可得 $k = 4$ ； $\dots$ ．若 $n = 5$ ，则 $k$ 的值是；若 $n = 22$ ，则 $k$ 的值是．

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7. 有下列说法：
①若单项式 $2 a^{3} b^{(m + 1)}$ 与 $- 3 a^{n} b^{3}$ 是同类项，则 ${(- m)}^{n} = - 8$ ．
②已知 $a, b, c$ 是不为0的有理数且 $a < 0$ ， $a b c < 0$ ，则 $\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c} - 3$ 的值为 $- 2$ 或 $- 6$ ．
③已知有理数 $a, b$ 满足 $a b \neq 0$ ，且 $|a - b| = 4 a - 3 b$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为 $\frac{2}{3}$ ．
④若 $|a + 3| = - 3 - a$ ， $|b - 2| = b - 2$ ，则化简 $|b + 3 |-| a - 2|$ 的结果为 $a + b + 1$ ．
其中正确的说法有．（请填写序号）

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8. 已知3个多项式分别为： $A = 3 x^{2} + 2 x + 1$ ， $B = x^{2} + 2 x - 1$ ， $C = 2 x + 2$ ．
①若 $|C| = 2$ ，则 $x = 0$ ；
②无论x取何值，一定都有 $A > B$ ；
③若 $m A + n B + C$ 的值与x无关，则 $m = \frac{1}{2}$ ， $n = - \frac{3}{2}$ ；
④代数式 $|A - 3 B| + |C|$ 化简后共有3种不同的表达式．
其中正确的是．

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9. 已知： $[x]$ 表示不超 $x$ 的最大整数．例如： $[2.3] = 2$ ， $[- 1.8] = - 2$ ．令关于 $k$ 的等式 $f (k) = [\frac{k + 1}{4}] - [\frac{k}{4}]$ （ $k$ 是整数）．例如： $f (3) = [\frac{3 + 1}{4}] - [\frac{3}{4}] = 1$ ，则下列结论正确的有（填序号）
① $f (1) = 0$ ；② $f (k + 4) = f (k)$ ；③ $f (k) \leq f (k + 1)$ ；④ $f (k) = 0$ 或1

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10. 有下列说法：
①若单项式4a²bⁿ与 $- 2 a^{m+1} b^{3}$ 是同类项，则-mⁿ的值为-1；
②若|a|=|b|，则有(a+b)(a-b)=0；
③若关于x的多项式 $x^{2} - ax+3$ 与 $(b+1) x^{2} +4x-1$ 的和是一个定值，则ab的值为-8；
④若a+b+c=0且 abc<0，则 $\frac{b+c}{∣a∣} + \frac{a+c}{∣b∣} + \frac{a+b}{∣c∣}$ 的值为3或-1.
其中正确说法的是.(只填序号)

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11. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它具有一定的规律性，从图中取一列数：1，3，6，10，…，分别记为 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 10$ ， …，以此类推，则 $a_{8}$ 的值为：， $a_{n}$ 的值为．

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12. 已知 $a \neq 0$ 且 $a \neq 1$ ，我们定义 $f_{1} (a) = \frac{1}{1 - a}$ ，记为 $a_{1}$ ； $f_{2} (a) = \frac{1}{1 - a_{1}}$ ，记为 $a_{2}$ ；……； $f_{n} (a) = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ ，记为 $a_{n}$ ．若将数组 $(- 1, \frac{1}{2})$ 中的各数分别作 $f_{1}$ 的变换，得到的数组记为 $(a_{1}, b_{1})$ ；将 $(a_{1}, b_{1})$ 作 $f_{2}$ 的变换，得到的数组记为 $(a_{2}, b_{2})$ ；……则 $a_{1} + b_{1} + a_{2} + b_{2} + a_{3} + b_{3} + \dots \dots + a_{2025} + b_{2025}$ 的值为．

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13. 下列结论：
①若 $a = - b$ ，则 $a^{2} = b^{2}$ ；②若 $|m| + m = 0$ ，则 $m < 0$ ；
③若 $- 1 < m < 0$ ，则 $m^{2} < - m$ ；④两个四次多项式的和一定是四次多项式．
其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）

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14. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第一层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用 $a_{n}$ 表示第n层的弹珠数，其中 $n = 1$ ， 2，3，…，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{2024}} =$ ．

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三、解答题

15. 观察下面三行数：
$- 1$ 、2、 $- 4$ 、8、 $- 16$ 、32、 $- 64$ 、…①
0、3、 $- 3$ 、9、 $- 15$ 、33、 $- 63$ 、…②
1、 $- 5$ 、7、 $- 17$ 、31、 $- 65$ 、127、…③

(1)、第①行的第8个数是，设第①行第n个数为x，则第②行第n个数为，第③行第n个数为；

(2)、取第①、②、③行的第10个数分别记为a、b、c，求 $a - b + c$ 的值；

(3)、取每行数的第n个数，这三个数中任意两数之差的最大值为6146，求n的值.

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16. 如下图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为 $a_{1} ， a_{2} ， a ， a_{3} ， a_{4}$ ．

(1)、若 $a = 17$ ，则 $a_{1} =$ ____， $a_{2} =$ ____，若 $a = x$ ，则 $a_{4} =$ （用含x的式子表示）；

(2)、在移动“凹”字型框的过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为116，你同意他的说法吗？请说明理由；

(3)、若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为 $b_{1}, b_{2}, b, b_{3}, b_{4}$ ，且 $b = 2 a + 1$ ，则 $b_{2} - a_{1} - a_{4}$ 的值是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．

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17. 材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”（如图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．

(1)、如图2是一个“和幻方”，则 $x + y + z =$ ；

(2)、如图3是一个“积幻方”，求 $m^{n}$ 的值；

(3)、由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若 $m - n = 3$ ，求 $b - a + c - d$ 的值．

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18. 阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即 $a = 9 + 1 + 3 = 13$ ；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即 $b = 6 + 0 + 2 = 8$ ；
步骤3：计算 $3 a$ 与b的和c，即 $c = 3 \times 13 + 8 = 47$ ；
步骤4：取大于或等于c且为 $10$ 的整数倍的最小数d，即 $d = 50$ ；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即 $X = 50 - 47 = 3$ ．
请解答下列问题：

(1)、《数学故事》的图书码为 $978753 Y$ ，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值；

(2)、如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m；

(3)、如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？

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19. 【阅读材料】
对于任意整数a和不为0的整数b，总存在整数k，r使得 $a = b k + r (0 \leq r < b)$ ，其中k称为商，r称为余数，特别地，当 $r = 0$ 时，即 $a = b k$ ，此时称a被b整除 $($ 也称b整除 $a) ．$
例如， $12 = 4 \times 3$ ，则称12被3整除．
【问题提出】
任取三个整数a，b，c，进行加减乘除四则运算 $($ 每个数只能使用一次 $)$ ，结果记为m，记 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 分别为a，b，c除以5所得的余数，则 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 可取0、1、2、3、4，请判断是否一定存在一个m值能被5整除，请说明理由．
小明的解答如下：一定存在一个m值能被5整除．理由如下：
①当 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 其中一个为0时，假设 $r_{1} = 0$ ，则 $m = a (b + c)$ 能被5整除；
②当 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 其中有两个相等时，假设 $r_{1} = r_{2}$ ，则 $m = (a - b) c$ 能被5整除；
③当 $r_{1} \neq r_{2} \neq r_{3} \neq 0$ 时，则 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 可取1，2，3，4，
现把余数分为1和4，2和3两组，
则 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 中一定有两个数同时在上面两组余数中的一组，则同组的两个余数和为5，假设 $r_{1} + r_{2} = 5$ ，可知 $a + b$ 可被5整除，则 $m = (a + b) c$ 一定能被5整除．
综上所述，一定存在一个m值能被5整除．
【问题解决】

(1)、任取两个整数a，b，进行加减乘除运算 $($ 每个数只能使用一次 $)$ ，结果记为m，记 $r_{1}$ ， $r_{2}$ 分别为a，b除以3所得的余数，则 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 可取0、1、 $2 ．$
①若 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 其中有一个为0，则 $m =$ ______时， m能被3整除．
②若 $r_{1} = r_{2}$ ，则 $m =$ ______时， m能被3整除．
③若 $r_{1} + r_{2} = 3$ ，请证明当 $m = a + b$ 时，m能被3整除．

(2)、任取四个整数a，b，c，d，进行加减乘除四则运算 $($ 每个数只用一次 $)$ ，结果记为m，记 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 、 $r_{4}$ 分别为a，b，c，d，除以8所得的余数，则 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 、 $r_{4}$ 可取0、1、2、3、4、5、6、7，请判断是否一定存在一个m值能被8整除，请说明理由．

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20. 定义： $n$ 个关于 $x$ 的一次整式 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n}$ ，存在不等于零的数 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{n}$ ，使 $k_{1} A_{1} + k_{2} A_{2} + \cdot \cdot \cdot + k_{n} A_{n} = a$ ，其中 $a$ 是常数，我们称这 $n$ 个一次整式为常数 $a$ 的“相关整式”．
例如：对于一次整式 $x - 4$ ， $- 3 x + 8$ ， $- x - 1$ ，存在 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = - 1$ ， $k_{3} = 4$ ，使 $(x - 4) - (- 3 x + 8) + 4 (- x - 1) = - 16$ ，我们就称一次整式 $x - 4$ ， $- 3 x + 8$ ， $- x - 1$ 为常数 $- 16$ 的“相关整式”．
数学理解
（1）若整式 $A_{1} = x$ ， $A_{2} = 3 x + 1$ ， $A_{3} = x + 4$ 为常数 $a$ 的“相关整式”，其中 $k_{1} = k_{2} = 1$ ，则常数 $a =$ _____， $k_{3} =$ ____；
（2）若整式 $A_{1} = p x + q$ ， $A_{2} = x + 1$ ， $A_{3} = - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$ 为常数2的“相关整式”，其中 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = - 1$ ， $k_{3} = 3$ ，求 $p$ ， $q$ 的值；
尝试探究
（3）若整式 $A_{1} = m_{1} x + n_{1}$ ， $A_{2} = m_{2} x + n_{2}$ 为常数0的“相关整式”，则等式① $m_{1} n_{1} = m_{2} n_{2}$ ；② $m_{1} n_{2} = m_{2} n_{1}$ 中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由；
（4）若整式 $A_{1} = x + 3$ ， $A_{2} = 2 x + 6$ ， $A_{3} = m x + 7$ 为常数0的“相关整式”，直接写出 $m$ 的值．

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