《一元一次方程》精选典型题——人教版七年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 请将数字 $- 5$ ， $- 4$ ， $- 3$ ， $- 2$ ， $- 1$ ， 2，3，6，9，10填入图中，使每条边上四个数之和都相等，则m的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、3

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2. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的5个数(如阴影部分所示)，请你运用所学的数学知识来研究，在本月历中这5个数的和可能是( )

A、64 B、75 C、96 D、116

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3. 在求一个两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1~4所示，现仿照这几个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图5所示，若这个两位数的个位数字为 $a (a \neq 0)$ ，则这个两位数为（　　）

A、 $a + 60$ B、 $a + 50$ C、 $a + 40$ D、 $a + 30$

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4. 我国古代的“九宫图”是由 $3 \times 3$ 的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（　　）

A、2020 B、 $- 2020$ C、2019 D、 $- 2019$

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5. 教室摆放了A、B、C、D四个桶，每个桶均装满了同样数量的小球，甲、乙、丙、丁四位同学趁下课时间在教室进行玩球游戏，游戏的规则如下：
（1）甲先从A桶拿出4个小球放入B桶；
（2）然后乙从B桶拿出一半的小球放入C桶；
（3）接着丙从C桶拿出四分之一的小球放入D桶；
（4）随后丁数了数各桶的小球，发现D桶内的小球的数量比C桶内的小球的数量多了2个，问原来每个桶里装了多少个球（）

A、8个 B、12个 C、16个 D、20个

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6. 某同学晚上 $6$ 点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是 $120 °$ ，他做完作业后还是 $6$ 点多钟，且时针和分针的夹角还是 $120 °$ ，此同学做作业大约用了（）

A、 $40$ 分钟 B、 $42$ 分钟 C、 $44$ 分钟 D、 $46$ 分钟

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7. 文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有 $x$ 辆车，则可列方程（）

A、 $3 (x - 2) = 2 x + 9$ B、 $3 (x + 2) = 2 x - 9$ C、 $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$ D、 $\frac{x}{3} - 2 = \frac{x + 9}{2}$

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8. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中m的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 如图，在 $3 \times 3$ 的九个格子中填入9个数，当每行、每列及每条对角线的3个数之和相等时，我们把这张图称为三阶幻方．下面的这张三阶幻方中，填了两个数，则右上角a所表示的数为．

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10. 某学校七年级共有 $8$ 个班举行篮球赛．以积分形式记总成绩．其中 $3$ 个班的积分信息如下表：
班级
比赛场次
胜场
负场
积分
七年级（2）班
$14$
$10$
$4$
$24$
七年级（5）班
$14$
$23$
七年级（8）班
$14$
$0$
$14$
$14$
由表格信息可知，七年级（5）班共胜场．

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11. 任何一个无限循环小数都可以写成分数 $\frac{p}{q}$ （p，q是整数， $q \neq 0$ ）的形式，以 $0. \dot{7}$ 为例，设 $0. \dot{7} = x$ ，由 $0. \dot{7} = 0.777$ …可知， $10 x = 7.777$ …，所以 $10 x - x = 7$ ，解方程得 $x = \frac{7}{9}$ ，于是 $0. \dot{7} = \frac{7}{9}$ ，类比上述方法得到 $1.2 \dot{3} \dot{5}$ 的分数形式是．

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12. 如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字 $- 5$ ， $- 4$ ， $- 3$ ， $- 2$ ， $- 1$ ， 0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则 $a$ 的值为

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13. 如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为．

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三、解答题

14. 如图（ $1$ ），点 $A 、 B$ 在数轴上表示的数分别为 $a 、 b$ ，其中，式子 $M = (a + 2) x^{3} + 4 x^{b - 2} - x + 1$ 是关于 $x$ 的二次三项式，

(1)、点 $P$ 为数轴上 $A$ 点左边一点，且 $P A + P B = 10$ ，求点 $P$ 在数轴上对应的数；

(2)、在（ $1$ ）的条件下，若点 $P 、 A 、 B$ 三点在数轴上同时向右运动，点 $P 、 A 、 B$ 的速度分别是 $4$ 个单位长度 $/$ 秒、 $3$ 个单位长度 $/$ 秒、 $2$ 个单位长度 $/$ 秒，设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒，当点 $P B = 2 P A$ 时，求 $t$ 的值．

(3)、如图（ $2$ ），点 $C$ 在数轴上对应的点所对应的数是 $1$ ，点 $A 、 C$ 的速度分别是 $3$ 个单位长度/秒、 $2$ 个单位长度 $/$ 秒，当点 $A$ 向左运动，点 $C$ 向右运动，试问是否存在一个常数 $k$ 使得 $k A B - B C$ 不随运动时间 $t$ 的改变而改变，若存在，请求出 $k$ ；若不存在，请说明理由．

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15. 如图，数轴上有 $A, B, C$ 三个点，分别表示数 $- 20$ ， $- 8$ ， 16，有两条动线段 $P Q$ 和 $M N$ （点 $Q$ 与点 $A$ 重合，点 $N$ 与点 $B$ 重合，且点 $P$ 在点 $Q$ 的左边，点 $M$ 在点 $N$ 的左边）， $P Q = 2$ ， $M N = 4$ ，线段 $M N$ 以每秒1个单位的速度从点 $B$ 开始向右匀速运动，同时线段 $P Q$ 以每秒3个单位的速度从点 $A$ 开始向右匀速运动．当点 $Q$ 运动到点 $C$ 时，线段 $P Q$ 立即以相同的速度返回；当点 $Q$ 回到点 $A$ 时，线段 $P Q 、 M N$ 同时停止运动．设运动时间为 $t$ 秒（整个运动过程中，线段 $P Q$ 和 $M N$ 保持长度不变）．

(1)、两线段运动前，点 $M$ 表示的数为______，点 $P$ 表示的数为______．

(2)、在整个运动过程中，当 $C Q = P M$ 时，求出点 $M$ 表示的数．

(3)、在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段 $P Q$ 和 $M N$ 重合部分长度为1时所对应的 $t$ 的值．

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16. 根据以下素材，探索完成任务．

实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？
素材1	我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的．
素材2	现有一个长为 $180 cm$ 的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，左右各有一个钢制挡板 $D$ 和 $E$ ，其中 $C$ 到左挡板的距离为 $50 cm$ ， $B$ 到右挡板的距离为 $30 cm$ ， $A$ 、 $B$ 两球相距 $40 cm$ ．
素材3	在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动．
问题解决
任务1	根据素材2，若 $A$ 球在数轴上表示坐标原点， $B$ 球表示的数为40，则 $C$ 球表示的数为_______，右挡板 $E$ 表示的数为_______．
任务2	碰撞实验中，若 $A$ 球以每秒 $10 cm$ 的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出 $B$ 球第一次和第二次撞向右挡板 $E$ 的时间．
任务3	在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为 $650 cm$ 时， $C$ 球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案）

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17.

如何设计班级菜地？
素材1		如图1是长方形菜园，长 $5 m$ ，宽 $3 m$ ．（1）中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍．（2）四周过道部分的宽度相等
素材2		如图2，为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等
素材3		每垄菜地的长比宽多 $30 cm$ ．

问题解决
任务1	分析数量关系		设过道宽度为 $x (m)$ ，用含x的代数式表示种植区域的长与宽．
任务2	确定过道宽度		求过道宽度x的值
任务3	确定每垄菜地的大小		求每垄菜地的长与宽

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18. 已知 $x_{0}$ 是关于 $x$ 的方程 $a x + b = 0 (a \neq 0)$ 的解， $y_{0}$ 是关于 $y$ 的方程 $c y + d = 0 (c \neq 0)$ 的解，若 $x_{0}, y_{0}$ 满足 $x_{0} + y_{0} = x_{0} y_{0}$ ，则称方程 $a x + b = 0 (a \neq 0)$ 与方程 $c y + d = 0 (c \neq 0)$ 互为“雅礼方程”：例如：方程 $x - 4 = 0$ 的解是 $x_{0} = 4$ ，方程 $4 y - y = 4$ 的解是 $y_{0} = \frac{4}{3}$ ，因为 $4 + \frac{4}{3} = 4 \times \frac{4}{3}$ ，所以方程 $x - 4 = 0$ 与方程 $4 y - y = 4$ 互为“雅礼方程”．

(1)、请判断方程 $x - 3 + 2 (x - 6) = 0$ 与方程 $y + 3 y = 5$ 是否互为雅礼方程．并说明理由．

(2)、若关于 $x$ 的一元一次方程 $x - \frac{3 x - 2 a}{4} = a + \frac{3}{4} x$ 和关于 $y$ 的方程 $2 y - 3 = 1$ 互为“雅礼方程”，请求出 $a$ 的值．

(3)、关于x，y的两个方程 $2 (x - 1) = 3 m - 2$ 与方程 $\frac{5 y + n}{2} - y = 2 n + 1$ ，若对于任何数 $m$ ，都使它们不是“雅礼方程”，求 $n$ 的值．

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19. 如图，已知数轴上点A表示的数为a，B所表示的数为b，且满足 $∣ a + 12 ∣ + {(b - 8)}^{2} = 0$ 点C所表示的数为18

(1)、a的值为， b的值为；

(2)、动点P从A点出发，往数轴右边以每秒10个单位的速度运动，动点Q从点B往数轴右边以为每秒2个单位的速度运动.
①点P运动到C点需要秒，点Q运动到C点需要秒.
②在运动过程中点P所表示的数为x，且PB+PC的值为12，求x的值.
③若点P到达C点后，立即以同样的速度返回，点Q到达点C后，两点同时停止运动，设运动时间为t（t>0）秒，当P，Q之间的距离为2时，求t的值.

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20. 如图，在数轴上有A，B，M三点，分别表示有理数a，b，m．其中a，b，m满足 $|a + 1| + {(b - 2)}^{2} + |m - 3| = 0$ ．已知线段 $A B$ 的中点表示的数可以记作 $\frac{a + b}{2}$ ， A、B之间的距离为 $|a - b|$ ．

(1)、求a，b，m的值；

(2)、数轴上的一动点N从A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，当N与B的距离为线段 $B M$ 长度的两倍时，求运动时间t，以及此时点N表示的数；

(3)、有一动点P从表示 $- 7$ 的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示 $- 2$ 的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，若线段 $P Q$ 上至少存在一点T与点A构成线段，当线段 $A T$ 的中点在线段 $O B$ （包含端点）上，求t最大值和最小值．

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21. 已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长 $A B = 2$ （单位长度），慢车长 $C D = 4$ （单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头 $A$ 在数轴上表示的数是 $a$ ，慢车头 $C$ 在数轴上表示的数是 $b$ ．若快车 $A B$ 以 $6$ 个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车 $C D$ 以 $2$ 个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且 $|a + 8|$ 与 ${(b - 16)}^{2}$ 互为相反数．

(1)、求此时刻快车头 $A$ 与慢车头 $C$ 之间相距多少单位长度？

(2)、从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头 $A$ 和 $C$ 相距 $8$ 个单位长度．

(3)、此时在快车 $A B$ 上有一位爱动脑筋的六年级学生乘客 $P$ ，他发现行驶中有一段时间 $t$ 秒钟，他的位置 $P$ 到两列火车头 $A$ ， $C$ 的距离和加上到两列火车尾 $B$ ， $D$ 的距离和是一个不变的值（即 $P A + P C + P B + P D$ 为定值）．你认为学生 $P$ 发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．

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22. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程 $4 x = 8$ 和 $x + 1 = 0$ 为“美好方程”．

(1)、若关于 $x$ 的方程 $3 x + m = 0$ 与方程 $4 x - 2 = x + 10$ 是“美好方程”，求 $m$ 的值；

(2)、若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为 $n$ ，求 $n$ 的值；

(3)、若关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2024} x + 3 = 2 x + k$ 和 $\frac{1}{2024} x + 1 = 0$ 是“美好方程”，求关于 $y$ 的一元一次方程 $\frac{1}{2024} (y + 1) = 2 y + k - 1$ 的解．

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班级	比赛场次	胜场	负场	积分
七年级（2）班	$14$	$10$	$4$	$24$
七年级（5）班	$14$			$23$
七年级（8）班	$14$	$0$	$14$	$14$