《有理数及运算》精选典型题——人教版七年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知 $a b c < 0 ， a + b + c > 0$ 且 $x = \frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |} + \frac{c}{| c |} + \frac{a b}{| a b |} + \frac{a c}{| a c |} + \frac{b c}{| b c |}$ ．则 $x$ 的值为（）．

A、0 B、0或1 C、0或 $- 2$ 或1 D、0或1或 $- 6$

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2. 第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14）在上海举办，会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×10³+6×10²+5×10¹+7×1，在电子计算机中用的二进制，如二进制中 ${(110)}_{2} = 1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 0 \times 1$ 等于十进制的数6，八进制数3745换算成十进制数是（　　）

A、2021 B、2022 C、2023 D、2024

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3. 下列说法：①若a、b互为相反数，则 $\frac{a}{b} = - 1$ ；②若a为有理数，且 $a \neq 0$ ，则 $|a| < a^{2}$ ；③若 $b < 0 < a$ ，且 $|a| < |b|$ ，则 $|a + b| = |b| - |a|$ ， ④若 $a + b + c < 0$ ， $a b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $|- a| = - a$ ， ⑤若三个有理数a，b，c满足 $\frac{| a |}{a} + \frac{| b |}{b} + \frac{| c |}{c} = 1$ ，则 $\frac{| a b c |}{a b c} = - 1$ ．其中正确的有（　　）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如果 $a b c d < 0 ， a + b = 0 ， c + d > 0$ ，那么这四个数中负数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5. 如图是由一些长度相等的小木棍组成的图形，图（1）（2）（3）需要的小木棍数量分别为3根、7根、15根，按照这种方式摆下去，第（7）个图形需要的木棍数量为（　　）

A、127根 B、131根 C、255根 D、259根

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6. 一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2024时对应的手指是（）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指）

A、食指 B、中指 C、无名指 D、小指

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7. 观察图中的“品”字形中数字之间的规律，根据观察到的规律得出 $a + b$ 的值可能为（　　）

A、 $69$ B、 $89$ C、 $103$ D、 $139$

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8. 计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个 $2^{n}$ 的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数19可以写为二进制数字 $10011$ ，因为 $19 = 16 + 2 + 1 = 1 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}, 32$ 可以写为二进制数字 $100000$ ，因为 $32 = 1 \times 2^{5} + 0 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 0 \times 2^{0}$ ，则十进制数字 $70$ 是二进制下的（）

A、4位数 B、5位数 C、6位数 D、7位数

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二、填空题

9. 设有理数a，b，c满足 $a > b > c$ ，这里 $a c < 0 且 | c | < | b | < | a |$ ，则 $| x - \frac{a + b}{2} | + | x - \frac{b + c}{2} | + | x + \frac{a + c}{2} |$ 的最小值为.

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10. 给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，依此类推，第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ （ $n$ 为正整数），规定运算： $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ．已知一列数 $- 1$ ， $0$ ， $1$ ， $- 2$ ， $3$ ， $- 4$ ， $5$ ， $- 6$ ， $7$ ， $- 8$ ， $9$ ， $- 10$ ， $\dots$ ．若存在正整数 $n$ 使等式 $|\sum_{i = 1}^{n} a_{i}| = 2024$ 成立，则 $n =$ ．

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11. 下列说法：①若 $a + b = 0$ ，则 $\frac{a}{b} = - 1$ ；②若 $a + b < 0$ ，且 $\frac{b}{a} > 0$ ，则 $|a + 3 b| = - a - 3 b$ ；③若 $|a| > |b|$ ，则 $(a + b) (a - b) > 0$ ；④若 $a + b + c < 0 ， a b > 0 ， c > 0$ ，则 $\frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{|c|}{c} = - 1$ ．
其中正确的有．（填序号）

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12. 第十四届国际数学教育大会在上海举办，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，以此类推．为了区分二进制与十进制的数我们一般在二进制数的右下角标注2，例如 ${(1101)}_{2}$ ．
（1）类比十进制的计数原理：（规定： $a^{0} = 1$ ， $a \neq 0$ ） $3421 = 3 \times 10^{3} + 4 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 1 \times 10^{0}$ ，把一个二进制数转化为十进制数的方法为 ${(1101)}_{2} = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13$ ，即 ${(1101)}_{2}$ 可转化成十进制13．请将二进制数 ${(1010)}_{2}$ ，转换为十进制数是；
（2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果，例如图，37转化成二进制数为 ${(100101)}_{2}$ ．现用此方法将69转换为八进制数为 ${(\cdot)}_{8}$ ，则“ $\cdot$ ”表示的数是．

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13. 填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律， $a$ 的值是．

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14. 定义一种对正整数 $n$ 的“ $F$ ”运算：①当 $n$ 为奇数时， $F (n) = 3 n + 1$ ；②当 $n$ 为偶数时， $F (n) = \frac{n}{2^{k}}$ （其中 $k$ 是使 $F (n)$ 为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取 $n = 24$ ，则，其中第1次 $F (24) = \frac{24}{2^{3}} = 3$ ，第2次 $F (3) = 3 \times 3 + 1 = 10$ ， $\dots$ ．若 $n = 5$ ，则第2025次“ $F$ ”运算的结果是．

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三、解答题

15. 阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离 $A B = |a - b|$ ．回答下列问题：

(1)、数轴上表示 $- 3$ 和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____；

(2)、数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____；

(3)、若x表示一个有理数，则 $|x + 2| + |x - 4|$ 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

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16. 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
（1）【知识呈现】
数轴上的点 $A$ ，点 $C$ 所表示的数如图1所示：若点 $B$ 与点 $A$ 表示的数互为相反数，则点 $B$ 表示的数是______，点 $A$ 与点 $C$ 之间的距离 $A C =$ ______，点 $B$ 与点 $C$ 的中点 $D$ 表示的数是______，且在图1的数轴上标出点 $D$ ．
（2）【定义】
一个点 $M$ （不是原点）在数轴上运动，第一次跳到 $M_{1}$ 的位置（点 $M_{1}$ 与点 $M$ 表示的数互为相反数），点 $M_{1}$ 称为点M的一次跳跃点，紧接着从 $M_{1}$ 跳到 $M_{2}$ 的位置（点 $M_{1}$ 与点 $M_{2}$ 位于点 $P$ 的两侧，且 $P M_{1} = P M_{2} \neq 0$ ），则点 $M_{2}$ 称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示：
【初步理解】
①若点 $M$ 表示的数是 $- 2$ ，点 $P$ 表示的数是5，则点 $M$ 的一次跳跃点 $M_{1}$ 表示的数是______，点 $M$ 关于点 $P$ 的二次跳跃点 $M_{2}$ 表示的数是______，线段 $M M_{2}$ 的长度为______．
【深入探究】
②若点 $M$ 为数轴正半轴的一个点，点 $P$ 是数轴负半轴上一个点，点 $M_{2}$ 为点 $M$ 关于点 $P$ 的二次跳跃点．若点 $M$ ，点 $P$ 表示的数分别是 $m, - 3$ ，当 $m$ 变化时，探究 $M M_{2}$ 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【归纳总结】
③若在数轴上点 $M, P$ 分别表示有理数 $m, p$ （其中 $m \neq 0, p \neq 0$ ），点 $M_{2}$ 为点 $M$ 关于点 $P$ 的二次跳跃点，直接写出线段 $M M_{2}$ 的长度．

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17. 阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题， $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 100 = ？$ 经过研究，他得出这个问题的一般性结论是： $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$ 其中 $n$ 是正整数．现在我们一起来研究一个类似问题： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} = ？$ 观察下面三个特殊的等式：① $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ；② $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ；③ $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；

(1)、把①、②、③三个等式相加，则 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} =$

(2)、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{99 \times 100} =$

(3)、根据以上观察，聪明的你发现 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{2021 \times 2023} =$

(4)、根据发现的规律并用转化的数学思想计算： $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{45}$

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18. 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如 $2 \div 2 \div 2$ ， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 写作 $2^{③}$ ，读作“2的圈3次方”， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 写作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“ $(- 3)$ 的圈4次方”，一般地，把 $\underset{n 个 a}{\underset{⏟}{a \div a \div a \div \dots \div a}} (a \neq 0)$ 写作 $a^{ⓝ}$ ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： $2^{③} =$ ； ${(- 1 \frac{1}{2})}^{③}$ = ；
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ${(- 3)}^{⑤}$ ， $a^{ⓝ} (a \neq 0 ， n \geq 3)$ ．
（3）算一算： $12^{2} \div {(- \frac{1}{3})}^{④} \times {(- 2)}^{⑥} - {(- \frac{1}{3})}^{⑥} \div 3^{3}$ ．

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19. 阅读下列材料∶
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统∶约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如∶ ${(1101)}_{2}$ 就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数， ${(a b c)}_{n}$ 表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数 $5678 = 5 \times 10^{3} + 6 \times 10^{2} + 7 \times 10^{1} + 8 \times 10^{0}$ （当 $a \neq 0$ 时， $a^{0} = 1$ ）．同理，进制数 ${(1101)}_{2}$ 用十进制数表示为∶ $1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 13$ ．
根据上述材料，解答下列问题．

(1)、把二进制数 ${(10010)}_{2}$ 用十进制数表示为_______；

(2)、现有三进位制数 $a = {(211)}_{3}$ ，二进位制数 $b = {(10110)}_{2}$ ，试比较a与b的大小关系．

(3)、若一个正数可以用七进制表示为 ${(a b c)}_{7}$ ，也可以用五进制表示为 ${(c b a)}_{5}$ ，请求出这个数并用十进制表示．

(4)、若一个六进制数与一个八进制数表示为十进制数后的和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断 ${(m m 2)}_{6}$ 与 ${(n n 4)}_{8}$ 是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由．

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20. 阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：
在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如 $|5 - 3|$ 表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离； $|5 + 3| = |5 - (- 3)|$ ，所以 $|5 + 3|$ 表示5， $- 3$ 在数轴上对应的两点之间的距离； $|5| = |5 - 0|$ ，所以 $|5|$ 表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为 $|a - b|$ ．
应用：
（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数 $- 5, - 1, 3$ ，那么A到B的距离是          ， A到C的距离是          ．（直接填最后结果）；
（2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x， $- 3$ ， 1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为                             ．（用含绝对值的式子表示）；
拓展：
（3）利用数轴探究：
①满足 $|x - 3| + |x + 1| = 8$ 的x的所有值是                ；
②设 $|x - 3| + |x + 1| = m$ ，当 $- 1 \leq x \leq 3$ 时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是         ；
当x的值取在                  的范围时， $|x - 1| + |x - 3|$ 的最小值是         ；
当x的取值是         时， $|x - 1| + |x - 3| + |x - 5|$ 的最小值是              ；
（4）试求 $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + \dots + |x - 100|$ 的最小值．

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