人教版数学九年级上册重难点复习4：二次函数与几何综合

试卷更新日期：2025-12-26 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是 ( )

A、y=2x B、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = x^{2} + 5$ D、y=2x-7

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2. 抛物线y＝2x²与y＝－2x²相同的性质是（）

A、开口向下 B、对称轴是y轴 C、有最低点 D、对称轴是x轴

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3. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（）．

A、在 $8 m \sim 9 m$ 之间 B、在 $9 m \sim 10 m$ 之间 C、在 $10 m \sim 11 m$ 之间 D、在 $11 m \sim 12 m$ 之间

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的坐标满足如表：
x
…
-3
-2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
-8
-9
-5
7
…
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ ；
③当 $- 2 < x < 4$ 时， $y < 0$ ；
④ $x = - 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + 5 = 0 (a \neq 0)$ 的一个根．
其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + m$ （ $m$ 为常数）的图像与 $x$ 轴的一个交点为 $(1, 0)$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 的两实数根是（）

A、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 1, x_{2} = 2$ C、 $x_{1} = 1, x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = 1, x_{2} = 3$

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6. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　）

A、定价70元时，利润为6000元 B、定价 $56.5$ 元时，利润为6105元 C、降价3元，能使所获利润最大 D、涨价5元，能使所获利润最大

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二、填空题

7. 二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ 的图象的顶点坐标是.

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8. 若函数y=mx²-2x+1的最大值是5，则m=.

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9. 若对任意实数x ，抛物线 $y = x^{2} + x - m$ 在直线 $y = - x$ 的上方，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点(-1， 0)， (3， 0) ，与y轴交于点(0， 3) .

(1)、求函数解析式；

(2)、当x为何值时，y随着x的增大而减小?

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11. 如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ O A B$ 的顶点 $A (- 2, 4)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，直角边 $O B$ 在 $x$ 轴上．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、将 $Rt △ O A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ O C D$ ，边 $C D$ 与该抛物线交于点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标．

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12. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $C (- \frac{3}{2}, 0)$ ，其对称轴为直线 $x = \frac{1}{4}$ ，抛物线与直线 $y = 2 x + \frac{1}{2}$ 交于点 $A$ 和 $B$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求点 $A$ 与点 $B$ 的坐标．

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13. 钱塘江边的文创店购进一批印有“钱塘”字样的水杯，成本价格为20元/个.由销售经验可知，每周销售量y（个）与销售单价x（元）满足关系式y=-10x+700（20≤x≤70）.

(1)、当销售单价为30元时，求销售杯子的总利润.

(2)、当销售单价为多少元时，销售杯子的总利润最大，并求出最大利润.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2交x轴于点A，交y轴于点B，过点A的抛物线y=ax²+bx-2与y轴交点C，与直线AB的另一个交点为D，点E是线段AD上一点，点F在抛物线上，EF∥y轴，设E的横坐标为m.

(1)、用含a的代数式表示b．

(2)、当点D的横坐标为8时，求出a的值．

(3)、在（2）的条件下，设△ABF的面积为S，求出S最大值，并求出此时m的值．

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x	…	-3	-2	0	1	3	5	…
y	…	7	0	-8	-9	-5	7	…