人教版数学九年级上册重难点复习3：圆的综合计算与证明

试卷更新日期：2025-12-26 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知⊙O的半径为5，下列说法正确的是（）

A、若OP=5.5，则点P在⊙O内 B、若OP=5，则点P在⊙O上 C、若点P在⊙O内，则OP＜4 D、若点P在⊙O外，则OP＞6

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2. 如图，AB为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转36°，使点A恰好旋转到点C的位置.若AB=10，则图中阴影部分的面积为（）

A、2π B、2.5π C、5π D、10π

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 的顶点 $B$ ， $C$ ， $D$ 都在 $⊙ A$ 上， $A D // B C$ ， $∠ B A D = 140 °$ ， $A C = 3$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的弧长为（）

A、 $\frac{5}{3} π$ B、 $\frac{5}{2} π$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、 $\frac{5}{6} π$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE=8，OF=6，则圆的直径长为（）

A、12 B、10 C、14 D、15

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5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（）

A、120° B、135° C、145° D、150°

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6. 如图，在直角坐标系中，以点 $A (- 4, 0)$ 为圆心，画半径 $\sqrt{2}$ 的圆，点 $P$ 为直线 $y = - x + 2$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $⊙ A$ 的切线，切点为 $T$ ，则 $P T$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 如图，半径为1的 $⊙ M$ 经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为 $(\sqrt{3}, 0)$ ，点B是直角坐标系平面内一动点，且 $∠ A B O = 30 °$ ，则BM的最大值为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} + \frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3} + 2$ D、 $\sqrt{3} + \frac{5}{2}$

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二、填空题

8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是.

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9. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，∠BCD=112.5°，则弧BD的长为.（结果保留π）

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10. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3 个正五边形的位置.要完成这一圆环的排列，还需要个这样的正五边形.

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11. 如图， $⊙ M$ 的圆心为 $M (4 ， 0)$ ，半径为 $2$ ， $P$ 是直线 $y = x + 4$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线，切点为 $Q$ ，则 $P Q$ 的最小值为

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三、解答题

12. 如图，在平面直角坐标系中， $A (0, 4)$ ， $B (4, 4)$ ， $C (6, 2)$ ， $⊙ M$ 经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点．

(1)、点 $M$ 的坐标为．

(2)、判断点 $D (4, - 3)$ 与 $⊙ M$ 的位置关系．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是直径，点 $C$ 是劣弧 $B D$ 的中点，求证： $A B = A D$ ．

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14. 如图，矩形ABCD 内接于⊙O，E 是 $\overset{⏜}{A B}$ 上一动点，连结AE，若AB=8，AD=6.

(1)、求⊙O 的半径.

(2)、若 $A E = 5 \sqrt{2} ，$ 求 $\overset{⏜}{A E}$ 的长.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B = 3 0^{\circ} .$ 以 AC为直径的⊙O交 BC于点 D ，交 BA的延长线于点E，连结CE， DE.

(1)、求 $∠ D E C$ 的度数；

(2)、若DE=6，(求图中阴影部分的面积.

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16. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E.

(1)、求证： $\overset{⏜}{B D} = \overset{⏜}{D E}$ .

(2)、若 $\overset{⏜}{D E}$ 的度数为50°，求∠C的度数.

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17. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $∠ B A C = 75 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ，连接 $A O$ ，并延长交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $B A$ 的延长线交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A D ∥ E C$ ；

(2)、若 $A D = 4$ ，求线段 $C E$ 的长．

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18. 【了解概念】
折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图1，线段PM、MA组成折线段PMA，点B在折线段PMA上，若PB=BM+MA，则称点B是折线段PMA的中点.

(1)、【概念应用】
如图2，⊙M的半径为2，PA是⊙M的切线，A为切点，点B是折线段PMA的中点.若. $∠ P = 3 0^{\circ},$ 则PB的长为；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段PMA放在圆中，且P、M、A三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，PM和MA是⊙O的两条弦（即折线段PMA是圆的一条折弦），PM>AM，C是 $\hat{P M A}$ 的中点，CB⊥PM，垂足为B，则PB=BM+MA.这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明PB=BM+MA的部分证明过程.
【证明定理】
证明：如图3，在PB上截取PQ=AM，连接CP，CQ，CA和CM.
∵C是 $\hat{P M A}$ 的中点， $∴ \hat{C P} = \hat{C A} . ∴ C P = C A . . . .$

(2)、请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；

(3)、【灵活运用】
如图4，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为弧AC上一点， $C E ⟂ B D$ 于点E，连接AD，若 $∠ A B D = 1 5^{\circ}, C E = 2$ ，请直接写出△DAB的周长.

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19. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $B C$ 边上一点（不与点B，C重合），将线段 $A D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $E C$ ， $D E$ ．

(1)、若 $C D = 1$ ， $B D = 2$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A D C = 45 °$ ，线段 $A D, B D, C D$ 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论：

(3)、如图3，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，D是 $⊙ O$ 上的点，且 $∠ A D C = 45 °$ ，求证： $A D + B D = \sqrt{2} C D$ ．

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