人教版数学九年级上册重难点复习1：一元二次方程及其应用

试卷更新日期：2025-12-26 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列式子是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 5 x - 3$ B、 $x^{2} - 1 = y$ C、 $5 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ，配方后方程变形为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 14$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 18$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 6$

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3. 方程 $(x - 1) (x + 3) = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 1, x_{2} = 3$ B、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 1, x_{2} = - 3$

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4. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 9 = 0$ 的两个根，则m²+4m+n的值是（）

A、6 B、12 C、0 D、18

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5. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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6. 如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）

A、 $x (58 - x) = 200$ B、 $x (29 - x) = 200$ C、 $x (29 - 2 x) = 200$ D、 $x (58 - 2 x) = 200$

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7. 若关于x的方程x²+（m+1）x+m²=0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　）

A、-1 B、1或-1 C、1 D、2

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8. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 $(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{17}{16}$ B、 $(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{1}{2}$ C、 $(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{13}{4}$ D、 $(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{11}{4}$

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9. 关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：ax²+bx+c=0与bx²+ax+c=0称为“交换二次方程”.如x²+2x+5=0与2x²+x+5=0就是“交换二次方程”.现有关于x的一元二次方程：(m-2)x²-4x+1=0与(n+6)x²+3x+1=0是“交换二次方程”.那么代数式mx²+nx+2031能取到的最小值是（）

A、2036 B、2030 C、2032 D、2026

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二、填空题

10. 一元二次方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的根是．

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11. 若关于 $x$ 的一元二次方程kx²-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是.

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12. 若m，n是方程 $3 x^{2} + 6 x - 10 = 0$ 的两根，则 $m^{2} + 2 m n + 2 m =$ ．

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13. 2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长 $36 m$ ，宽 $24 m$ ，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为 $805 m^{2}$ ，则所修道路的宽为 $m$ ．

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14. 某建筑工程队在工地一边靠墙处（墙长42米）用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则 $A B =$ 米．

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15. 如图，一次函数 $y = 2 x + 5$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），过点 $P$ 作 $O B$ 的垂线，垂足为 $C$ ，连接 $O P$ ，过点 $C$ 作 $C D ∥ O P$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ．若四边形 $P C D O$ 的面积为 $2$ ，则点 $P$ 的坐标为．

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三、计算题

16. 解方程：

(1)、x²+6x-7=0；

(2)、2（x-1）=x（x-1）.

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 k + 8 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{1}^{2} = - 24$ ，求 $k$ 的值．

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四、解答题

18. 阅读理解材料：已知实数m，n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n.
求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.
解：由题知m，n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=1，mn=-1，
∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$
解决以下问题：

(1)、方程x²-4x-3=0的两个实数根为x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂= ， x₁x₂=.

(2)、已知实数m，n满足m²-3m+1=0，n²-3n+1=0，且m≠n，求 $\frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的值.

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19. 阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
$a^{2} + 2 a - 4 = a^{2} + 2 a + 1 - 1 - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5$
∵ ${(a + 1)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $a^{2} + 2 a - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5 \geq - 5$ ，
因此，代数式 $a^{2} + 2 a - 4$ 有最小值 $- 5$ ，
根据以上材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $a^{2} - 2 a + 2$ 的最小值为；

(2)、试比较 $a^{2} + b^{2} + 11$ 与 $6 a - 2 b$ 的大小关系，并说明理由；

(3)、如图，在直角坐标系中，点 $A (0, \frac{1}{2} a^{2} + a)$ 和点 $B (0, - 2 a - \frac{13}{2})$ 在 $y$ 轴上，点 $M$ 在 $x$ 轴负半轴上， $S_{Δ A B M} = 2$ ，当线段 $O M$ 最长时，求点 $M$ 的坐标．

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20. 平凉米香醋历史悠久，相传可追溯至远古的黄帝问道广成时期.某超市销售一批精装平凉米香醋，平均每天能售出20瓶，每瓶盈利15元.为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每瓶醋每降价1元时，平均每天可多售出4瓶.超市要想使这批米香醋的销售利润平均每天达到396元，每瓶醋应降价多少元?

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21. 根据材料，解决下列问题：

信息一	美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱．
信息二	该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是 $800$ 转 $/$ 分，三档风为 $1152$ 转 $/$ 分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同．
信息三	一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为 $250$ 元 $/$ 件，售价 $290$ 元 $/$ 件，每天可以售 $80$ 件，当每降价 $5$ 元时，多售 $40$ 件．

(1)、求一档至三档转速的平均增长率．

(2)、要使该电器每天的利润达到

5000

元，应降价多少元？

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22. 某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．

(1)、若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 $64.8$ 元，求两次下降的百分率；

(2)、经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元？

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23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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