《手拉手证全等》精选典型题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-25 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，点C为线段AB上一点，且AC=2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC=3，设DF=a、EF=b，则a、b满足（）

A、a=2b+1 B、a=2b+2 C、a=2b D、a=2b+3

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2. 已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.
其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图，C为线段 $A E$ 上一动点（不与A，E重合），在 $A E$ 同侧分别作等边 $△ A B C$ 和等边 $△ E C D$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点O， $A D$ 与 $B C$ 交于点P， $B E$ 与 $C D$ 交于点Q，连接 $P Q$ ，则有以下五个结论：① $A D = B E$ ；② $P Q ∥ A E$ ；③ $A P = B Q$ ；④ $D E = D P$ ；⑤ $∠ A O B = 60 °$ ．其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

4. 如图所示，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，连接BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：① $B D = C E$ ；② $B F ⊥ C F$ ；③AF平分 $∠ C A D$ ；④ $∠ A F E = 45 °$ ．其中正确结论的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）

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5. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ D A E = ∠ B A C = 85 °$ ，若 $∠ B D C = 165 °$ ，则 $∠ D C E =$ $°$ ．

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三、解答题

6. 综合与实践

(1)、问题发现
如图 $1$ ， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等边三角形，点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上，连接 $B E$ ，请写出 $∠ A E B$ 的度数及线段 $A D$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2)、类比探究
如图 $2$ ， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上， $C M$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B E$ ．
填空： $① ∠ A E B$ 的度数为；
$②$ 线段 $C M$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系为．

(3)、拓展延伸
在（2）的条件下，若 $B E = 4$ ， $C M = 3$ ，则四边形 $A B E C$ 的面积为．

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7. 在锐角 $△ A B C$ 中，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向外作等边 $△ A B P$ 和等边 $△ A C Q$ ，连接 $P C$ ， $B Q$ 交于点 $O$ ．

(1)、如图1，易证 $△ A P C ≌ △ A B Q$ ，其依据是，从而得出结论： $P C$ $B Q$ 与 $∠ P B Q$ $∠ P B A + ∠ A P C$ （用“ $=$ ”、“ $>$ ”或“ $<$ ”填空）；

(2)、如图2，若 $A C = B C$ ，请探究线段 $P C$ 与 $B Q$ 的数量关系及直线 $P B$ 与 $B Q$ 的位置关系，并给出证明；

(3)、在（2）的条件下，若 $P C$ 交于 $A B$ 于点 $D$ ， $Q E ⊥ P C$ 于点 $E$ （如图2），试探究 $D E$ ， $P D$ ， $C E$ 之间存在的等量关系，并给予证明．

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8. 点 $P$ 为等边 $△ A B C$ 所在平面内一点，连接 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ ，且 $∠ B P C = 120 °$ ．

(1)、如图 $1$ ，点P在 $△ A B C$ 外部，若 $B P = 2$ ， $C P = 3$ ，则 $A P$ 的长为（直接写出结果）；

(2)、 $P$ 点在 $△ A B C$ 内部，连接 $A P$ ．
①如图2，若 $A P ⊥ B P$ ，求 $\frac{B P}{C P}$ 的值；
②如图3，D为 $B C$ 边中点，连接 $P D$ ，求 $∠ A P C - ∠ C P D$ 的度数．

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9. 已知 $△ A B C$ 是等边三角形．

(1)、如图1，在射线 $B C$ 上取一点D，以 $C D$ 为边作等边三角形 $△ C D E$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ， $A D$ 交 $B E$ 于点F．
①求证： $A D = B E$ ；
②连接 $C F$ ，求证： $∠ F C E = ∠ E B D$ ．

(2)、如图2，点T在 $△ A B C$ 的外部， $C T = B C$ ，连接 $A T$ ， $B T$ ， $C M$ 平分 $∠ B C T$ 交 $A T$ 于点M，交 $B T$ 于点N．
①求 $∠ A T B$ 的大小；
②探究线段 $A M$ ， $C N$ ， $M T$ 之间的数量关系，并说明理由．

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10. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．

(1)、【模型探究】如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ 连接 $B E$ ， $C D$ ．这一图形称“手拉手模型”．求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ．

(2)、【模型指引】如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 40 °$ ，以B为端点引一条与腰 $A C$ 相交的射线，在射线上取点D，使 $∠ A D B = ∠ A C B$ ，求： $∠ B D C$ 的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在 $B D$ 上找一点E，使 $A E = A D$ ，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．

(3)、【拓展延伸】如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C$ 为任意角度，若射线 $B D$ 不与腰 $A C$ 相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使 $∠ A D B = ∠ A C B$ ，试判断 $∠ B A C$ 与 $∠ B D C$ 有何数量关系？并证明．

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11. 综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 都是等腰三角形，其中 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，则 $△ A B D ≌ △ A C E (S A S)$ ．

(1)、【初步把握】如图2， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，则有_______ $≌$ ________．

(2)、【深入研究】如图3，已知 $△ A B C$ ，以 $A B 、 A C$ 为边分别向外作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ，并连接BE， $C D$ ，求证： $B E = C D$ ．

(3)、【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A D$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $C E$ ，交于点P，请判断 $B D$ 和 $C E$ 的关系，并说明理由．

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12. 已知 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D为直线 $B C$ 上的一动点（点D不与点B、C重合），以 $A D$ 为边作 $Rt △ A D E$ ， $A D = A E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、发现问题
如图1，当点D在边 $B C$ 上时．
①请写出 $B D$ 和 $C E$ 之间的数量关系为______，位置关系为______；
②求证： $C E + C D = B C$

(2)、尝试探究
如图2，当点D在边 $B C$ 的延长线上且其他条件不变时，请写出 $B C$ 、 $C E$ 、 $C D$ 之间存在的数量关系并说明理由．

(3)、拓展延伸
如图3，当点D在 $C B$ 的延长线上且其他条件不变时，若 $B C = 6$ ， $C E = 2$ ，求线段 $C D$ 的长．

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13. 综合与实践：

(1)、问题发现：如图1， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①求证： $A D = B E$ ；
②求 $∠ A E B$ 的度数．

(2)、类比探究：如图2， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点A，D，E在同一直线上， $C M$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B E$ ．
① $∠ A E B$ 的度数为；
②请写出线段 $C M$ ， $A E$ ， $B E$ 之间的数量关系为．

(3)、拓展延伸；在（2）的条件下，若 $B E = 4$ ， $C M = 3$ ，求四边形 $A B E C$ 的面积．

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14. （1）问题情境如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D ， C E$ ，求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ．
（2）迁移应用如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是 $A D$ 的中点，N是 $A C$ 的中点，P在 $B E$ 上， $△ M N P$ 是等边三角形，求证：P是 $B E$ 的中点．
（3）拓展创新如图3，P是线段 $B E$ 的中点， $B E = 9$ ，在 $B E$ 的下方作等边 $△ P F H$ （P，F，H三点按逆时针顺序排列， $△ P F H$ 的大小和位置可以变化），连接 $E F$ ， $B H$ ．当 $E F + B H$ 的值最小时，直接写出等边 $△ P F H$ 边长的最小值．

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15. 已知 $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ E C D = 90 °$ ．

(1)、【发现问题】
如图1，若 $D$ 为 $△ A C B$ 内部一点， $A E$ 与 $B D$ 的数量关系是；

(2)、【探索证明】
如图2，若 $D$ 为 $A B$ 边上一点， $A D = 5$ ， $B D = 12$ ，求 $D E$ 的长．

(3)、【学以致用】
运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知 $∠ B C E = 90 °$ ， $A C = A B$ ， $C B = C E$ ， $∠ B A C = 45 °$ ， $A B = A C = 1$ ，求 $A E$ 的长．

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16. 【初步感知】

(1)、如图1，已知 $Δ A B C$ 为等边三角形，点D为边 $B C$ 上一动点（点D不与点B，点C重合）．以 $A D$ 为边向右侧作等边 $Δ A D E$ ，连接 $C E$ ．求证： $Δ A B D ≌ Δ A C E$ ；

【类比探究】

(2)、如图2，若点D在边 $B C$ 的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：

① $A B$ 与 $C E$ 的位置关系为：；
②线段 $E C$ 、 $A C$ 、 $C D$ 之间的数量关系为：；
【拓展应用】

(3)、如图3，在等边 $Δ A B C$ 中， $A B = 3$ ，点P是边 $A C$ 上一定点且 $A P = 1$ ，若点D为射线 $B C$ 上动点，以 $D P$ 为边向右侧作等边 $Δ D P E$ ，连接 $C E$ 、 $B E$ ．请问： $P E + B E$ 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．


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