《分式的计算与应用》精选典型题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-25 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知：a，b，c三个数满足： $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + a c}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（）

A、 $\frac{m}{a} - \frac{m}{a + 3}$ B、 $\frac{m}{a + 3} - \frac{m}{a}$ C、 $\frac{m}{a} - \frac{m}{a - 3}$ D、 $\frac{m}{a - 3} - \frac{m}{a}$

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3. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学伟大的成就之一，被后世广泛运用，用“杨辉三角”可以解释 ${(a + b)}^{n} (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的展开式的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着 ${(a + b)}^{2}$ 展开式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着 ${(a + b)}^{3}$ 展开式 $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 中各项的系数；第5行的5个数1，4，6，4，1，恰好对应着 ${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ ，等等．当 $n$ 是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么 ${(a - \frac{1}{a})}^{8}$ 展开式中 $a^{6}$ 的系数是（）

A、 $8$ B、 $- 8$ C、 $28$ D、 $- 28$

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二、填空题

4. 对于两个非零的实数 $a ， b$ ，定义运算※如下： $a ※ b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} ．$ 例如： $3 ※ 4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{12} ．$ 若 $x ※ y = 4$ ，则 $\frac{y - x}{2 x y}$ 的值为．

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5. 已知 $a^{2} + 8 a = 1$ ，求 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值为．

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6. 规定 $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} = f (x)$ ，例如： $f (1)$ 表示当 $x = 1$ 时y的值，即 $f (1) = \frac{1^{2}}{1^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ ； $f (\frac{1}{2})$ 表示当 $x = \frac{1}{2}$ 时y的值，即 $f (\frac{1}{2}) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1} = \frac{1}{5}$ ；…那么 $f （ 2025 ） + f (2024) + f (2023) + \cdot \cdot \cdot + f (3) + f (2) + f (1) +$ $f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + \dots + f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2025}) =$ ．

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7. 已知多项式 $x^{2} + m x + n$ ，下列四个结论：
①若 $x^{2} + m x + n$ 为完全平方式，则 $m^{2} = 4 n$ ；
②若 $x^{2} + m x + n = (x - 5) (x + b)$ ，且 $n = - 10$ ，则 $b^{m} = - \frac{1}{8}$ ；
③若 $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ ， $x^{2} + m x + n = (x - a) (x - b)$ ，则关于 $x$ 的分式方程 $x + \frac{n}{x} = - m$ 的解为 $x = a$ 或 $x = b$ ；
④若 $\frac{x^{2} + m x + n}{x - 1} = x + a + \frac{b}{x - 1}$ ，则 $m + n = b - 1$ ．
其中正确的有（请填写序号）．

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8. 如图，等边 $△ O A P$ 在坐标系中如图放置，其顶点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，将 $△ O A P$ 沿 $x$ 轴正方向连续翻转（看箭头）若干次，点 $A$ 依次落在点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， …， $A_{2023}$ 的位置上，设点 $A_{2023}$ 的横坐标为 $a$ ，则方程 $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + a - 3029.5$ 的解为

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三、解答题

9. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a - 2} \div (a + 2 + \frac{5}{2 - a})$ ，其中 $a$ 是不大于3的正整数．

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10. 先化简，再求值： $\frac{x - 3}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x - 3} - (\frac{1}{x - 1} + 1)$ ，其中 $x = \frac{2}{3}$ ．

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11. 计算：

(1)、 $[(2 y + x) (x - 2 y) - {(x + 4 y)}^{2}] \div 4 y$ ．

(2)、先化简 $(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{1 - x}) \div \frac{x^{2}}{x - 1}$ ，若 $x$ 的取值范围是 $- 1 \leq x \leq 1$ ，且为整数，求该式的值．

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12. 武汉某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的 $20$ 倍，若用一台机器人分拣 $6000$ 件货物，比原先 $30$ 名工人分拣这些货物只多用 $\frac{1}{2}$ 小时．

(1)、求一台机器人每小时可分拣多少件货物？

(2)、此仓库“双十二”前夕收到货物 $68$ 万件，为了在 $6$ 小时内分拣完所有货物，公司调配了 $20$ 台机器人和 $20$ 名工人，工作 $3$ 小时后，又调配了 $15$ 台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．

(3)、公司技术部为了提速，对机器人“东东”的程序进行优化．若该仓库有 $a$ 万件货物待分拣，用相同的时间分拣，提速后的“东东”可比提速前多分拣 $1$ 万件，则机器人“东东”平均提速______件/小时（用含 $a$ 的式子表示）

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13. 某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为 $a$ 米的正方形主房进行改造．
户型一是在主房两侧均加长 $b$ 米 $(0 < 5 b < a)$ ．阴影部分作为入户花园，如图 $2$ 所示．
户型二是在主房一边减少 $b$ 米后，另一边再增加 $b$ 米，阴影部分作为入户花园，如图 $3$ 所示．
解答下列问题：

(1)、设户型一与户型二的主房面积差为 $M$ ，入户花园的面积差为 $N$ ，试比较 $M$ 和 $N$ 的大小，并说明理由；

(2)、若户型一的总价为 $600$ 万元，户型二的总价为 $400$ 万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由．

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14. 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作 $A$ ， $B$ 两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个 $A$ 分子模型与1个 $B$ 分子模型，制作一个A， $B$ 分子模型需要的小球、塑料管数量分别为 $5 : 4$ 与 $6 : 5$ ，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半．

(1)、制作一个 $A$ ， $B$ 分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？

(2)、李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个 $A$ 模型和一个 $B$ 模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题）

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15. 我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式 $\frac{4}{x + 2}, \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 4 x}$ 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}, \frac{x^{2}}{x + 1}$ 是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如， $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ； $\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{{(x - 1)}^{2} + 2 x - 1}{x - 1} = (x - 1) + \frac{2 (x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
请按照以上方法解决下列问题．

(1)、将假分式 $\frac{2 x + 1}{x - 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和；

(2)、将假分式 $\frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ 化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数．

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16. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了 $25 %$ ，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？

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17. 为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进 $A ， B$ 两种文创饰品对游客销售．已知 $B$ 种的单价比 $A$ 种单价的 $2$ 倍少 $5$ 元，用 $400$ 元购买 $A$ 种的数量与用 $700$ 元购买 $B$ 种数量相等．

(1)、求 $A ， B$ 饰品每件的进价分别为多少元？

(2)、该商铺计划共购进 $80$ 个 $A ， B$ 两种文创饰品，购买总费用不超过 $2365$ 元，且 $B$ 种文创饰品的购买数量不少于 $A$ 种文创饰品购买数量的 $\frac{3}{2}$ ．问：共有哪几种购买方案？

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