《最短路径》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-24 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，点 $E$ 是高 $A D$ 上任意一点，点 $F$ 是边 $A B$ 上任意一点， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $A D = 4$ ，则 $B E + E F$ 的最小值是（）

A、3 B、5 C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{24}{5}$

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2. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线．若P，Q分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、4 C、5 D、 $\frac{12}{5}$

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3. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 30 ° ， ∠ C = 90 ° ， B C = 4 ， △ D B E ≌ △ A B C$ ，且 $B 、 C 、 D$ 三点共线，点 $F$ 是线段 $A B$ 上任意一点，连接 $D F 、 E F$ ，则 $D F + E F$ 的最小值为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ， $S_{△ A B C} = 27$ ，直线 $E F$ 垂直平分线段 $A B$ ，若点 $D$ 为边 $B C$ 的中点，点 $G$ 为直线 $E F$ 上一动点，则 $△ B D G$ 周长的最小值为（）

A、12 B、13 C、10 D、14

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5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8cm，D是BC边中点，P是AC边上的一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ，则CQ的最小值（　　）

A、1cm B、2cm C、4cm D、 $\sqrt{3} c m$

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6. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $B D$ 是中线，点P，Q分别在 $A B$ ， $A D$ 上，且 $B P = A Q = Q D = 1$ ，动点E在 $B D$ 上，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、2.5 B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、3.5

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7. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 ° ， ∠ A B C = 72 °$ ，将 $△ A B C$ 沿边 $A C$ 进行对折使得点B落在点D处，过点C作 $C E$ 垂直 $A B$ 于点E，点P是直线CE上一动点，当 $D P - B P$ 的值最大时， $∠ D P B$ 的度数为（　　）

A、 $75 °$ B、 $80 °$ C、 $84 °$ D、 $88 °$

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8. 如图，△ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为（）

A、2 B、4 C、1.5 D、

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 115 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ，在 $B C$ ， $C D$ 上分别找一个点 $M$ ， $N$ ，使 $△ A M N$ 的周长最小，则 $∠ A M N + ∠ A N M =$ （）

A、 $110 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $100 °$

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二、填空题

10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线．若P，Q分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是．

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11. 如图，等边三角形 $A B C$ 的边长是6，高 $A D$ 是 $3 \sqrt{3}$ ， E是 $A B$ 的中点，P是 $A D$ 上一动点，连接 $E P$ ， $B P$ ，则 $E P + B P$ 的最小值是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(0 ， 8)$ ，点B为x轴上一动点，以 $A B$ 为边在直线 $A B$ 的右侧作等边三角形 $A B C$ ．若点P为 $O A$ 的中点，连接 $P C$ ，则 $P C$ 的长的最小值为．

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13. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ， $A B = 4$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，在线段 $B C$ 上有动点 $E$ ， $F$ ，且 $E F = 1$ ，在线段 $A C$ 上有动点 $G$ ，连接 $D E$ ， $F G$ ．则 $D E + E F + F G$ 的最小值为．

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14. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上任一点，点 $F$ 是 $A C$ 中点，以 $A D$ 为边作等边 $△ A E D$ ，连接 $E C$ ，则当 $E C$ 取最小值时， $∠ F E C =$ $°$ ．

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15. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $B C = 5$ ， $C D = 2$ ，点 $E$ 是边 $A C$ 所在直线上的一动点，连接 $D E$ ，将 $D E$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转 $60^{°}$ 得到 $D F$ ，连接 $B F$ ，则 $B F$ 的最小值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $E$ ， $M$ ， $N$ 分别是各边上的动点，若 $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $E M + E N + M N$ 的最小值是．

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17. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ C A B = 60 °$ ，若点 $G$ 是直线 $B C$ 上一动点，连接 $A G$ ，以 $A G$ 为边作等边三角形 $A G M$ ，若 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，求 $C M$ 的最小距离为．

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18. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 116 °$ ，点D，E分别为边 $A B, B C$ 上的动点，且 $A D = B E$ ，连接 $A E, C D$ ，当 $A E + C D$ 的值最小时， $∠ A E B$ 的大小是．

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19. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N ，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．

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三、解答题

20. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中 $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $∠ A = 30^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，交边 $A B$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为边 $A C$ 上的一个动点．

(1)、如图1，连接 $D E$ ，当 $C D$ 是四边形 $B C E D$ 的对称轴时，求线段 $C E$ 的长；

(2)、如图2，点 $P$ 是 $A B$ 的中点，点 $Q$ 为线段 $C D$ 上的一个动点，连接 $P Q$ 、 $E Q$ ，当 $P Q + E Q$ 最小时， $C E$ 的长为；

(3)、如图3，若 $A E < C E$ ，点 $P$ 是 $A B$ 的中点，将 $△ P A E$ 沿 $P E$ 翻折至 $△ P A^{'} E$ ，连接 $A^{'} C$ ．当 $△ E A^{'} C$ 为等腰三角形时，求 $∠ A P E$ 的度数．

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21. 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营 $A$ 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 $B$ 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线 $l$ 同旁的两个定点．
问题：在直线 $l$ 上确定一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的值最小．
解法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，则 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点即为 $P$ ，且 $P A + P B$ 的最小值为线段 $A^{'} B$ 的长．

(1)、根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；

(2)、应用：
①如图2，已知 $∠ A O B = 30 °$ ，其内部有一点 $P, O P = 15$ ，在 $∠ A O B$ 的两边分别有C、D两点（不同于点 $O$ ），使 $△ P C D$ 的周长最小，请画出草图，并求出 $△ P C D$ 周长的最小值；
②如图3， $∠ A O B = 20 °$ ，点M、N分别在边 $O A 、 O B$ 上，且 $O M = O N = 3$ ，点P，Q分别在 $O A 、 O B$ 上，则 $M P + P Q + Q N$ 的最小值是________．

(3)、拓展：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 110 °, ∠ B = ∠ D = 90 °$ ，在 $B C, C D$ 上分别找一个点M，N，使 $△ A M N$ 的周长最小，则 $∠ A M N + ∠ A N M =$ ________ $°$ ．

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