《等腰三角形的探究》精选压轴题——人教版八年级上学期数学期末复习

试卷更新日期：2025-12-24 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图， $A$ ， $B$ 为 $4 \times 4$ 方格纸中格点上的两点，若以 $A B$ 为边，在方格中取一点 $C$ （ $C$ 在格点上），使得 $△ A B C$ 为等腰三角形，则点 $C$ 的个数为（）

A、 $9$ B、 $8$ C、 $7$ D、 $6$

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二、填空题

2. 如图， $∠ B A C = ∠ A B C = ∠ A D C = 45 °$ ， $∠ A C D = α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $B D$ ．给出下列四个结论：
①当 $α = 20 °$ 时， $∠ B C E = 70 °$ ；
②当 $∠ D A C = 2 ∠ A C D$ 时， $B D$ 平分 $A C$ ；
③点P为直线 $D E$ 上一点，当 $P A + P B$ 最小时， $∠ C A P = α - 45 °$ ；
④若 $C D = 9$ ， $△ A C D$ 的面积为18，则 $△ B C D$ 的面积为 $\frac{45}{2}$ ；
其中正确的是． $($ 填写所有正确结论的序号 $)$

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3. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点D是线段 $B C$ 上一点， $∠ A D C = 90 °$ ，点P是 $B A$ 延长线上一点，点O是线段 $A D$ 上一点， $O P = O C$ ，下面的结论：① $∠ A P O = ∠ A C O$ ；② $∠ A P O + ∠ D C O = 40 °$ ；③ $A C = A O + A P$ ；④ $P O = P C$ ，其中正确的是．（填序号）

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4. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作 $F N ⊥ A C$ 于点N， $D B = \frac{7}{5} C N$ ， $E F = F D$ ，若 $F B = 17$ ，则AN的长为．

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5. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A的坐标是 $(0, 1)$ ，以 $O A$ 为边在右侧作等边三角形 $O A A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作x轴的垂线，垂足为点 $O_{1}$ ，以 $O_{1} A_{1}$ 为边在右侧作等边三角形 $O_{1} A_{1} A_{2}$ ，再过点 $A_{2}$ 作x轴的垂线，垂足为点 $O_{2}$ ，以 $O_{2} A_{2}$ 为边在右侧作等边三角形 $O_{2} A_{2} A_{3} \dots$ ，按此规律继续作下去，得到等边三角形 $O_{2025} A_{2025} A_{2026}$ ，则点 $A_{2025}$ 的纵坐标为．

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6. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ A B D$ 是等腰直角二角形， $∠ B A D = 90 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于点E，连接 $C D$ 分别交 $A E$ ， $A B$ 于点F，G，过点A作 $A H ⊥ C D$ 分别交 $C D$ ， $B D$ 于点P，H．下面四个结论：
① $∠ B A C = 4 ∠ A D C$ ；② $D F = A H$ ；③ $B H = P F$ ；④ $∠ E P D = 45 °$ ．
其中一定正确的是．

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7. 如图，在长方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上有一动点 $E$ ，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ 交射线 $B C$ 于点 $F$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，当 $△ E F C$ 为等腰三角形时， $∠ E D C$ 的度数是．

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三、解答题

8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P$ 和点 $H$ （点 $H$ 的横、纵坐标相等），给出如下定义： $l_{1}$ 为过点 $H (h, h)$ 且与 $x$ 轴垂直的直线， $l_{2}$ 为过点 $H (h, h)$ 且与 $y$ 轴垂直的直线，先作点 $P$ 关于 $l_{1}$ 的对称点 $E$ ，再作点 $E$ 关于 $l_{2}$ 的对称点 $P^{'}$ ，则称点 $P^{'}$ 是点 $P$ 关于点 $H (h, h)$ 的“关联点”．
例如：如图，点 $G (2, 1)$ 关于原点 $O (0, 0)$ 的“关联点”是 $G^{'} (- 2, - 1)$ ．

(1)、如果点 $F^{'} (1, 2)$ 是点 $F (- 3, - 4)$ 关于点 $H (h, h)$ 的“关联点”，那么 $h =$ ___________；

(2)、点 $A (0, 4)$ 关于点 $H (h, h)$ 的“关联点”为 $A^{'}$ ，如果 $△ O A A^{'}$ 是以 $O A$ 为底的等腰三角形，求该三角形的面积；

(3)、点 $B (h, 2)$ 关于点 $H (h, h)$ 的“关联点”为 $B^{'}$ ，如果以 $B B^{'}$ 为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出 $h$ 的取值范围．

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9. 小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是 $36 °$ ．
（1）如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 36 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上，且 $B D = A D$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为_________ $°$ ；
通过上面的计算，小许发现从图1的 $△ A B C$ 的顶点 $B$ 引一条线段 $B D$ ，线段 $B D$ 把 $△ A B C$ 分成等腰 $△ A B D$ 和等腰 $△ B C D$ ．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究．
（2）小许同学发现如图2，图3所示的 $△ A B C$ 均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数；
（3）小丹同学猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请画图并写出已知、求证及证明过程；若不正确，请举一个反例．

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线分别交线段 $A B ， B C$ 于点M，P， $A C$ 的垂直平分线分别交线段 $A C ， B C$ 于点 N，Q．

(1)、如图，当 $∠ B A C = 80^{\circ}$ 时，求 $∠ P A Q$ 的度数．

(2)、当 $∠ B A C$ 满足什么条件时， $A P ⊥ A Q$ ？说明理由．

(3)、在（2）的条件下， $B C = 10$ ，求 $△ A P Q$ 的周长．

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11. （1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数

（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.

（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.


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12. 已知，在等边三角形 $A B C$ 中，点E在 $A B$ 上，点D在 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ．

(1)、如图1，当点E为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ _________ $D B$ （填“>”，“<”或“=”）．

(2)、如图2，当点E为 $A B$ 边上任意一点时，请判断线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点F）

(3)、如图3，在等边三角形 $A B C$ 中，点E在直线 $A B$ 上，点D在线段 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ，若 $△ A B C$ 的边长为3， $A E = 6$ ，求线段 $C D$ 的长．

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13. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是边AB上一点， $∠ B C D = ∠ A$ ．

(1)、如图1，设 $∠ A = α$ ，请用含 $α$ 的式子表示 $∠ B$ 和 $∠ B D C$ ；

(2)、如图2，过点B作 $B E ⊥ A C$ ，垂足为点E， $B E$ 与 $C D$ 相交于点F．
①试说明 $∠ B C D = 2 ∠ C B E$ 的理由；
②如果 $△ B D F$ 是等腰三角形，求 $∠ A$ 的度数．

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14. 【阅读】例题：在等腰三角形 $A B C$ 中，若 $∠ A = 80 °$ ，求 $∠ B$ 的度数.
点点同学在思考时是这样分析的： $∠ A$ ， $∠ B$ 都可能是顶角或底角，因此需要进行分类.他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图），据此可求出 $∠ B$ 的度数.
【解答】
由以上思路，可得 $∠ B$ 的度数为__________；
【应用】
将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法.请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13.
（注意：请对所拼成图形中的线段长度标注数据）

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15. 已知 $A D$ 为等边 $△ A B C$ 的角平分线，动点 $E$ 在直线 $A D$ 上（不与点 $A$ 重合），连接 $B E$ ．以 $B E$ 为一边在 $B E$ 的下方作等边 $△ B E F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、如图1，若点 $E$ 在线段 $A D$ 上，且 $D E = B D$ ，则 $∠ C B F =$ ______度．

(2)、如图2，若点 $E$ 在 $A D$ 的反向延长线上，且直线 $A E$ ， $C F$ 交于点 $M$ ．
①求 $∠ A M C$ 的度数；
②若 $△ A B C$ 的边长为 $4$ ， $P$ ， $Q$ 为直线 $C F$ 上的两个动点，且 $P Q = 5$ ．连接 $B P$ ， $B Q$ ，判断 $△ B P Q$ 的面积是否为定值，若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．

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16. 在△ABC中，BC和AC边上的高AD、BE交于点F，DF=CD．

(1)、如图1，求证：∠DAC=∠CBE；

(2)、如图1，求∠ABC的度数；

(3)、如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，已知GH=BE，BF=5，AE=2，CG=10，求BH的长．

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17. 在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上， $A O = B O$ ， $A B = 10$ ．点C为 $A B$ 的中点，D为 $O B$ 上一点．

(1)、如图（1），将线段 $A D$ 绕点A逆时针旋转 $135 °$ ，得到线段 $A E$ ．
①求证： $∠ B A E = ∠ B D A$ ．
②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接 $B E$ ， $A Q$ ．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有 $A Q = B E$ 成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

(2)、如图（2），过点C作 $C D$ 的垂线，交y轴于点F．连接 $B F$ ， $D F$ ．若 $∠ O B F = 2 ∠ A C F$ ，请写出 $A F$ ， $F B$ ， $B D$ 的数量关系，并证明．

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18. 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在 $△ A B C$ 中，若 $A D ⊥ B C ， B D = C D$ ，则有 $∠ B = ∠ C$ ；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 $A B = A C$ ，即知 $A B + B D = A C + C D$ ．若把①中的 $B D = C D$ 替换为 $A B + B D = A C + C D$ ，还能推出 $∠ B = ∠ C$ 吗？
基于此，社团成员小军进行了探索研究，发现确实能推出 $∠ B = ∠ C$ ，并提供了以下证明方法：
证明：分别延长 $D B$ ， $D C$ 至E，F两点，使得……
【问题解决】

(1)、完成①的证明；

(2)、把②中小军的证明过程补充完整．

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 和点 $M$ 分别在 $A C$ 和 $B C$ 上， $∠ C M D = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $C N ⊥ M D$ ，垂足 $N$ 在 $M D$ 的延长线上．

(1)、如图①，当点 $M$ 与点 $B$ 重合时，
① $∠ D C N$ 的度数为______ $°$ ；
②证明： $C N = \frac{1}{2} B D$ ；

(2)、如图②，当点 $M$ 在线段 $B C$ 上时（点 $M$ 与 $B$ 、 $C$ 不重合）， $C N$ 和 $M D$ 的数量关系是否会发生变化？若有变化，请求出变化后的数量关系，若没有变化，请说明理由．

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20.
【情境建模】
（1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考：
已知：如图1，点D在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $A D ⊥ B C$ ，求证： $A B = A C$ ．请你帮助小明完成证明．
【理解内化】
（2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $A D ⊥ B D$ ， $∠ A B C = 3 ∠ C$ ，求证： $A C - A B = 2 B D$ ．
【拓展应用】
（3）如图3， $△ A B C$ 是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 60$ 米， $B C = 80$ 米， $A B = 100$ 米，该绿化带中修建了健身步道 $O A$ 、 $O B$ 、 $O M$ 、 $O N$ 、 $M N$ ，其中入口M、N分别在 $A C$ 、 $B C$ 上，步道 $O A$ 、 $O B$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ ， $O M ⊥ O A$ ， $O N ⊥ O B$ ．现要在 $△ C M N$ 区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将 $△ C M N$ 围成一圈？（步道宽度忽略不计）

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21. 如图1，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，点A，B在y轴上，且点 $A (0, 2)$ 与点B关于x轴对称， $A B = A C$ ．

(1)、求 $∠ O C A$ 的度数；

(2)、如图2，在 $C A$ 的延长线上取一点D，使得 $O D = O C$ ，求证 $A D = A O$ ；

(3)、如图3，点D为线段 $A C$ 上一动点，连接 $B D$ ，在 $B D$ 左侧以 $B D$ 为边作等边 $△ B D M$ ，当点D在线段 $A C$ 上运动时，点M随之运动，当 $O M$ 取得最小值时，求此时 $A M$ 的长．

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22. 阅读两则材料，然后根据材料解决问题：
【材料一】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
【材料二】从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
解决以下4个问题：

(1)、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，写出图中的一对“等角三角形”；

(2)、如图2， $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 40 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．求证： $C D$ 为 $△ A B C$ 的“等角分割线”；

(3)、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 48 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的等角分割线，则 $∠ A B C$ 的度数可以是（）
A． $44 °$ B． $38 °$ C． $36 °$ D． $28 °$

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23. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 边中点， $E$ 为 $A B$ 边上点， $D E$ 平分 $∠ A D B$ ， $F$ 为 $A C$ 边上点、 $E F$ 与 $A D$ 交于点 $G$ ， $E F ⊥ A C$ ．

(1)、证明： $D G = C D$ ；

(2)、证明： $F D$ 平分 $∠ E F C$ ；

(3)、如图2．延长 $E F$ 至 $M$ ，连接 $D M$ ， $D M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ，若 $∠ M = ∠ B A D$ ， $M N = D N$ ，证明： $C N = 2 N F$ ．

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